Espero que la propuesta del día de hoy sea del agrado de todos ustedes:
47. Demuestre que existen infinitas tercias de números naturales consecutivos que se pueden escribir como suma de dos cuadrados.
No dejen de comunicarnos sus soluciones. ¡Hasta muy pronto!
Friedrich Hirzebruch (1927-2012)
Hace 1 día
2 comentarios:
Interesante curiosidad. Si n-1, n y n+1 se expresan como suma de dos cuadrados, entonces también verifican la propiedad los números n^2-1, n^2 y n^2+1.
Vamos a escribir
n-1=a^2+b^2
n+1=c^2+d^2
Entonces
n^2+1= (n)^2+(1)^2
n^2= (n)^2+(0)^2
n^2-1=(n-1)(n+1)=(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2=(ac+bd)^2+|ad-bc|^2
Como terna inicial podemos considerar (8,9,10):
8=2^2+2^2
9=3^2+0^2
10=1^2+3^2
Muy buena, DHA, muy buena...
Lo que más me agrada del problemilla es que aquí hace acto de presencia el conocido hecho de que el producto de dos números que son suma de dos cuadrados es otro número que es suma de dos cuadrados.
Quedan ahora dos interrogantes en el aire:
1. ¿Se podrá adaptar la técnica de la prueba de este retito para dar una demostración alternativa del problema 34?
2. ¿Tiene alguien un problema similar que me pueda comunicar?
Saludos a todos.
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