Y volver, volver...

El objetivo de la entrada actual es uno solo: retomar el contacto con todos ustedes, estimados lectores... Sentimos mucho el habernos distanciado del changarro en estas últimas semanas.

Antes de presentar el reto del momento quisieramos hacer un par de anotaciones con respecto al problema 58. En los comentarios de la entrada respectiva se publicó un intento de solución a la propuesta. Dicha solución hace mención a un hecho que excede en demasía la estatura de nuestro problema. Me atrevo a pensar que esa es la opinión que más de uno de ustedes mantiene con respecto a tal argumento. Espero que la solución oficial que presentamos a continuación les resulte más transparente a todos:

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Solución. Decimos que un número tiene la propiedad S si él se puede expresar como la suma de seis cuadrados perfectos positivos (esta convención la hacemos con el fin de agilizar la redacción de lo que viene). Como 2009 = 7²(6² + 1² + 1² + 1² + 1² + 1²), se sigue que 2009 tiene la propiedad S. Esto implica de inmediato que toda potencia impar de 2009 posee dicha propiedad. En efecto, si k es un número natural arbitrario se cumple que 2009^2k+1 = (2009)^2k(2009), tal como habíamos anunciado.

Para las potencias pares se procede de modo análogo y en realidad la única dificultad en dicho caso radica en establecer que 2009² tiene la propiedad S. Dicha parte se reduce a su vez a probar que el cuadrado de 41 cumple con la propiedad. Para mostrar esto notamos que

41² = 37² + 74 · 4 + 4² = 37² + 2²(6² + 6²+1²+1²) + 4²

y la demostración termina.

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Resta entonces presentar la propuesta del momento:

59. Pruebe que todo entero n tiene infinitas representaciones de la forma

± 1² ± 2² ± ... ± k²

para una k adecuada (en cada caso) y una elección pertinente de los símbolos + y -.

Suerte a todos con ella. ¡Hasta muy pronto!