Una perla de la Aritmética

A saber,

No hay números perfectos consecutivos.

Un resultado bastante sui géneris porque, de hecho, no se sabe siquiera si hay números perfectos impares. Me atrevo a decir que el resultado pertenece al Profesor Florian Luca. La prueba que les voy a platicar se basa en dos hechos bastante conocidos sobre los números perfectos:

A) Un número perfecto par es de la forma $2^{p-1}(2^{p}-1)$ donde $2^{p}-1$ es un número primo de Mersenne.

B) No se sabe si hay números perfectos impares, pero de acuerdo con L. Euler, si $N$ fuese perfecto e impar entonces tendría que ser de la forma $px^{2}$ para algún primo $p$ congruente con $1$ módulo $4$ y algún número impar $x$ (se dice, en tal caso, que $p$ es el primo especial de $N$).

Supóngase entonces que $n$ y $n+1$ son ambos perfectos y que $n>6$. De A se sigue que todo número perfecto par mayor que $6$ debe ser divisible por $4$. Al combinar este dato con lo enunciado en B se sigue que si tanto $n$ como $n+1$ son números perfectos entonces $n$ debe ser par y además

$n \equiv 1 \pmod{3}$.

Esto obliga a que $p$, el primo especial de $n+1$, sea congruente con $2$ módulo $3.$ La observación crucial en la prueba se desprende entonces de B y es la siguiente: si $p^{a}$ es la mayor potencia de $p$ que divide a $n+1$ entonces $a$ es impar. Así, de

$(1+p)+ \ldots +(p^{a-1}+p^{a}) \equiv 0 + \ldots + 0 \pmod{3}$

y de la multiplicatividad de la función $\sigma$ se obtiene que

$\sigma(n+1) \equiv 0 \pmod{3}$.

Por otra parte, de $n \equiv 1 \pmod{3}$ se sigue que

$\sigma(n+1) = 2(n+1) \equiv 1 \pmod{3}$,

lo que entra en contradicción con lo obtenido un par de líneas arriba.

QED.