EfeL REfeTOfo

Una perla de la Aritmética

2011-11-04T20:09:00.020-07:00

A saber,

No hay números perfectos consecutivos.

Un resultado bastante sui géneris porque, de hecho, no se sabe siquiera si hay números perfectos impares. Me atrevo a decir que el resultado pertenece al Profesor Florian Luca. La prueba que les voy a platicar se basa en dos hechos bastante conocidos sobre los números perfectos:

A) Un número perfecto par es de la forma $2^{p-1}(2^{p}-1)$ donde $2^{p}-1$ es un número primo de Mersenne.

B) No se sabe si hay números perfectos impares, pero de acuerdo con L. Euler, si $N$ fuese perfecto e impar entonces tendría que ser de la forma $px^{2}$ para algún primo $p$ congruente con $1$ módulo $4$ y algún número impar $x$.

Supongamos entonces que $n$ y $n+1$ son ambos perfectos y que $n>6$. De A se sigue que todo número perfecto par mayor que $6$ debe ser divisible por $4$. Al combinar este dato con lo enunciado en B se sigue que si tanto $n$ como $n+1$ son números perfectos entonces $n$ debe ser par y además

$n \equiv 1 \pmod{3}$.

Esto obliga a que el primo $p$ que divide a $n+1$ (de acuerdo con B) sea congruente con $2$ módulo $3.$

La observación crucial en la prueba es la siguiente: si $p^{a}$ es la mayor potencia del primo $p$ que divide a $n+1$ entonces $a$ es impar. Así, de

$(1+p)+ \ldots +(p^{a-1}+p^{a}) \equiv 0 + \ldots + 0 \pmod{3}$

y de la multiplicatividad de la función $\sigma$ se desprende que

$\sigma(n+1) \equiv 0 \pmod{3}$.

Por otra parte, de $n \equiv 1 \pmod{3}$ se tiene que

$\sigma(n+1) = 2(n+1) \equiv 1 \pmod{3}$,

lo que entra en contradicción con lo obtenido un par de líneas arriba.

QED.

Uno de cuadros mínimos

2011-09-10T15:47:00.007-07:00

67. Juegan las blancas y ganan (la reina negra está en a1). ¿En cuántos movimientos puede usted dar mate?

Gracias de antemano por seguir visitándonos y por todos sus comentarios. ¡Hasta muy pronto!

Más sobre Erdös

2011-08-22T15:26:00.038-07:00

Demostraremos a continuación, siguiendo a Erdös, que la serie de los recíprocos de los números primos diverge.

El argumento es por contradicción. Si la serie $\displaystyle \sum_{p} \frac{1}{p}$ fuese convergente, habría un número natural $k$ tal que

$\displaystyle \sum_{i \geq k+1} \frac{1}{p_{i}} < \frac{1}{2}$.

Ahora bien, para $N \in \mathbb{N}$, denotemos con $N_{A}$ al número de naturales en $[1,N]$ cuyos divisores primos pertenecen a $\{p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}\}$ (incluimos al $1$ en este conteo). $N_{B}$ denotará, por su parte, al número de naturales en $[1,N]$ que tienen al menos un factor primo en $\{p_{k+1}, p_{k+2}, \ldots\}$. Claramente, para cada $N \in \mathbb{N}$, las convenciones hechas indican que

$N_{A} + N_{B} = N.$

Derivaremos ahora estimados simples para $N_{B}$ y $N_{A}$ (en ese orden). El número de múltiplos del i-ésimo número primo en el intervalo $[1,N]$ es $\displaystyle \lfloor \frac{N}{p_{i}} \rfloor$. Así,

$\displaystyle N_{B} \leq \sum_{i \geq k+1} \lfloor \frac{N}{p_{i}} \rfloor \leq \sum_{i \geq k+1} \frac{N}{p_{i}} < \frac{N}{2}$.

Para obtener información sobre $N_{A}$ notamos, en primer lugar, que todo número natural $n$ menor o igual a $N$, cuyos divisores primos están todos en $\{p_{1}, \ldots, p_{k}\}$, se puede escribir en la forma $n = a_{n}b_{n}^{2}$ donde $a_{n}$ es libre de cuadrados y por tanto, ó es $1$ ó es un producto de distintos primos en $\{p_{1}, \ldots, p_{k}\}$. De esto se desprende que la parte libre de cuadrados de $n$ se puede elegir de a lo más $2^{k}$ maneras diferentes. Por otra parte, de las desigualdades

$b_{n} \leq \sqrt{n} \leq \sqrt{N}$

concluimos que $N_{A} \leq 2^{k} \sqrt{N}$.

En particular, si hacemos $N = 2^{2(k+1)}$, se cumple que $N_{A} \leq 2^{k} \cdot 2^{k+1} = \frac{N}{2}$ y por consiguiente

$\displaystyle N = N_{A} + N_{B} < \frac{N}{2} + \frac{N}{2} = N$.

Esto último es claramente absurdo y la prueba termina. ∎

Un hecho curioso que se desprende de este resultado es la irracionalidad del número

$\alpha $ = 0.23571113171923293137...,

conocido en algunos textos como constante de Copeland-Erdös. La prueba correspondiente es como sigue: si el número no es racional entonces, sin pérdida de generalidad, puede suponerse que la representación decimal de $\alpha$ es periódica de longitud $s$ y que el período inicia inmediatamente después del punto decimal. Denotemos entonces con $a_{k}$ al número de elementos de la sucesión de primos con exactamente $k$ dígitos en su representación decimal. Afirmamos que para cada $k \in \mathbb{N}$ se tiene que $a_{k} \leq s$. En efecto, si $a_{k} > s$ para algún $k \in \mathbb{N}$ entonces, al juntar los primeros $s$ elementos de la sucesión de primos con $k$ dígitos se obtiene una cadena de $ks$ dígitos, en la cuál, el período de $\alpha$ se manifiesta exactamente $k$ veces. Esto obliga a que el $(s+1)$-ésimo primo con $k$ dígitos en su representación decimal coincida con el número primo que inicia la cadena de longitud $ks$ (¡contradicción!).

De todo lo anterior se desprende que la serie de los recíprocos de los números primos está dominada por la serie

$\displaystyle \frac{s}{1}+ \frac{s}{10} + \frac{s}{10^{2}} + \ldots$

lo cual es imposible en vista del resultado probado al inicio de la entrada. Obviamente, el argumento indica en general que si $\{n_{k}\}_{k \in \mathbb{N}}$ es una sucesión estrictamente creciente de números naturales y el número 0.n₁n₂n₃n₄n₅... es racional, entonces la serie $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{n_{k}}$ converge.

Referencias

[1] P. Erdös. Über die Reihe $\sum \frac{1}{p}$. (1938).
[2] N. Hegyvári. On some irrational decimal fractions. Amer. Math. Monthly 100 8 (1993), págs. 779-780.

Sobre el postulado de Bertrand

2011-05-09T17:59:00.030-07:00

Uno de los resultados más añejos en la memoria es, sin lugar a dudas, el postulado de Bertrand: para cada n ∈ N, el intervalo (n,2n] siempre contiene un número primo. El estribillo con el que supuestamente se le asociaba en Szeged va así:

"Chebyshev said it, but I will say it again:
there is always a prime between n and 2n."

De acuerdo con lo que se puede leer en el The man who loved only numbers, el verso fue una respuesta popular a la demostración que Erdös diera a este resultado en uno de sus primeros años de universidad (c. 1932). Si bien dicha prueba es simple y muy elegante, hoy quiero comentarles sobre un argumento (condicional) para derivar el postulado de Bertrand. Dicho argumento lo leí en el Monthly hace algunos añitos y es condicional porque supone que la conjetura de Goldbach (todo número par mayor que 2 es suma de dos primos) es cierta. Veamos:

Sea n un natural fijo. Si n=1 entonces es claro que hay un número primo en el intervalo correspondiente. Así, puede suponerse sin pérdida de generalidad que n>1. En ese caso, 2n resulta ser un número par mayor que dos y por Goldbach existen primos p y q tales que

2n = p + q.

Afirmamos que ó p ó q es mayor o igual a n. En efecto, si ambos fueran estrictamente menores que n entonces se tendría

2n = p + q < 2n (¡contradicción!).

Supongamos entonces que p ∈ [n, 2n). Si n no es primo entonces

n < p < 2n

y estamos. En otro caso, sean p' y q' tales que

2(n+1) = p' + q'.

Si p' es tal que p' ∈ [n+1, 2n+2) entonces se cumple, de hecho, que p' ∈ (n,2n): en efecto, p' no puede ser igual a 2n + 1, pues en ese caso q' = 1 (¡contradicción!) y p' no puede ser igual a 2n, pues este número es compuesto (¡contradicción!). QED.

Aunque se ha mencionado a Erdös como un referente en las pruebas del postulado de Bertrand, es importante señalar que fue Chebyshev el primero en demostrarle. Srinivasa Ramanujan también proporcionó una prueba del postulado en un trabajo de 1919 (cf. Collected Papers of S. Ramanujan, págs. 208-209).

Para concluir esta pequeña nota voy a agregar una prueba de la infinitud de los primos positivos basada en el postulado de Bertrand. Básicamente lo que probaremos es que para cada número natural n existe un número primo con n dígitos en su representación decimal. La infinitud del conjunto de primos será una consecuencia inmediata de dicha observación.

Sea n un número natural. El postulado de Bertrand nos permite asegurar la existencia de un primo $p_n$ tal que

$10^{n-1} < p_n \leq 2 \cdot 10^{n-1} < 10^{n}.$

De las desigualdades en la línea previa es claro que $p_n$ es un número con exactamente n dígitos en su representación decimal. ¡Voilà!

Planeo platicarles de otras ilustraciones interesantes del postulado de Bertrand en un post futuro. Entre tanto, el exhorto es uno sólo: ¡no dejen de sintonizarnos!

Hasta pronto.

Para la reflexión

2011-01-18T22:46:00.008-08:00

«El sueño de la razón engendra monstruos, dice uno de los dibujos a los que Goya puso el nombre de "Caprichos". Y es verdad. La razón sola, dormida, sin las demás virtudes, lo hace. Fue, por cierto, una cosa muy propia de la modernidad el ver a la razón como muy desligada de otros aspectos (afectivos, morales, etc.) del hombre. Se olvidó la noción de "razón recta" de la ética de la Edad Media, la cual no era la razón sola, entendida como pura discursividad o cumplimiento de reglas de inferencia o argumentativas, sino como la razón animada por algo más, que era el deseo o la intención de hacer el bien.»

— Mauricio Beuchot en su Hermenéutica analógica y crisis de la modernidad.

Una opinión más

2010-12-04T22:16:00.005-08:00

"... there are two kinds of generalization, one facile and one valuable. One is generalization by dilution, the other is generalization by concentration. Dilution means boiling the meat in a large quantity of water into a thin soup; concentration means condensing a large amount of nutritive material into an essence. The unification of concepts which in the usual view appear to lie far removed from each other is concentration. Thus, for example, group theory has concentrated ideas which formerly where found scattered in algebra, number theory, geometry and analysis and which appeared to be very different. Examples of generalization by dilution would be still easier to quote, but this would be at the risk of offending sensibilities."

Tomado del prefacio a la primera edición del Problems & Theorems in Analysis de G. Pólya y G. Szegö (las negritas son mías).

En la opinión de Zeilberger

2010-11-18T20:18:00.009-08:00

«... In my ultrafinitist weltanschauung, the great significance of both Gödel's famous undecidability meta-theorem, and Paul Cohen's independence proof is historical (or as Cohen would put it, "sociological"). Both are reductio proofs that anything to do with infinity is a priori utter nonsense, debunking the age-old erroneous belief of human-kind in the actual (and even potential) infinity. Granted, many statements: like "m+n=n+m for all (i.e. "infinitely" many) integers m and n" could be made a posteriori sensible, by replacing the phrase "for all" (when it ranges over "infinite" sets) by the phrase for "symbolic (commuting) variables (or rather letters) m and n". We have to kick the misleading word "undecidable" from the mathematical lingo, since it tacitly assumes that infinity is real. We should rather replace it by the phrase "not even wrong" (in other words utter nonsense), that cannot even be resurrected by talking about symbolic variables. Likewise, Cohen's celebrated meta-theorem that the continuum hypothesis is "independent" of ZFC is a great proof that none of Cantor's א-s make any (ontological) sense.»

15 de Brumario

2010-11-06T16:23:00.025-07:00

Momento oportuno para hacer algunos comentarios en este blogcito. Para empezar, deseo compartirles un gif del Wolfram MathWorld que contiene la solución a la propuesta de acá. Espero que sea del agrado de todos:

Deseo aprovechar la oportunidad para compartir también un punto de vista de B. Dubuque sobre la prueba de Estermann a la que hemos aludido en este post. De acuerdo con B. D.:

It's just a specialization of the 1-line proof ... which I mentioned above. I thought it was worth emphasizing it for the reader since rediscoverers often think that such proofs are novel - even professional mathematicians - even number theorists!

Para cerrar con broche de oro, la esperadísima propuesta

66 (F. Hdz.) Sea (X,τ) un espacio topológico y D un subconjunto denso de X. ¿Será cierto que si por cada d ∈ D elegimos un abierto propio (y no vacío) A_d, con d ∈ A_d, se cumple que

$\mathbf{X} = \bigcup_{\mathbf{d} \in \mathrm{D}} \mathbf{A}_\mathbf{d}$ ?
Por favor, no dejen de intentarle...

More on MO

2010-09-29T12:25:00.023-07:00

1. A Google buzz by Tao:

An article in the Atlantic on MathOverflow which, by coincidence, comes out on the 1 year anniversary of the site (via the Secret Blogging Seminar):

- Beyond Facebook...

2. MO is mentioned in The New York Times

Besides, it is said that "mathoverflow is almost an anti-social network because social networking sites are of necessity counterproductive".

Happy B-Day MathOverflow!

2010-09-28T17:11:00.016-07:00

If you consider that the internet is not living up to its potential, here you have a site that will undoubtedly change your mind on this point. Do not hesitate to visit it and, please, forget about sleazy networks once and for all.

References

[1] J. C. Baez. Math Blogs. Notices of the AMS, March 2010.
[2] A. Geraschenko, S. Morrison, R. Vakil. mathoverflow. Notices of the AMS, June/July 2010.
[3] T. Tao. MathOverflow (a post in What's new). October 2009.

¡Traición, sabotaje!

2010-07-06T13:47:00.006-07:00

El fútbol es un juego muy sencillo: 22 hombres corren detrás de un balón por 90 minutos y al final siempre gana Alemania.

Dedicado a todos los que toman a este aforismo como axioma de vida.

V. I. Arnold

2010-06-04T20:33:00.053-07:00

El reto de está ocasión pretende fungir como un modesto homenaje al Profesor Arnold quien ha fallecido recientemente. El problema está basado en un curioso ejercicio al que él solía aludir en añoranza de las hazañas de los matemáticos de la vieja escuela.

Específicamente, Arnold solicitaba calcular el límite, cuando $x$ tiende a cero, de

$\displaystyle \frac{\sin (\tan x) - \tan (\sin x)}{\arcsin(\arctan x) - \arctan(\arcsin x)}.$

El Profesor agregaba que un problema así le tomaría no más de unos cuantos minutos a hombres como Barrow, Newton y Huygens pues, a diferencia de los matemáticos de la actualidad, ellos sí sabían calcular. En [1], el Profesor mencionaría que Gerd Faltings era la única excepción a tal afirmación suya.

Al parecer, la historia anterior y el límite mismo son objeto de culto en los círculos matemáticos rusos. La siguiente foto, tomada en la cafetería de la Universidad Independiente de Moscú (cortesía de Parker) puede constatar esto que ahora digo.

Procedamos entonces con la develación de la propuesta del momento:

65. Sean $f$ y $g$ dos funciones analíticas (reales) alrededor del $0$, con $f(0) = g(0) = 0$ y $f^{\prime}(0) = g^{\prime}(0) = 1$. ¿Cuál es el límite de

$\displaystyle \frac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x) - f^{-1}(x)}$

cuando $x$ tiende a $0$?

Espero que el problema sea de su agrado y que ayude a perpetuar la memoria del Profesor Arnold.

Referencias

[1] V. I. Arnold. Huygens and Barrow, Newton and Hooke. Birkhäuser Verlag, pág. 28.

R. I. P.

2010-06-03T20:17:00.011-07:00

Tres lamentables decesos en no más de quince días:

20 de Mayo:

Walter Rudin
22 de Mayo:

Martin Gardner
3 de Junio:

V. I. Arnold

Que descansen en paz estos grandes.

Importante

2010-05-26T21:59:00.004-07:00

Bueeeno... Siempre esta la posibilidad de echar un vistazo a uno de esos viejos números de MAD:

Respaldo

2010-05-16T16:31:00.027-07:00

He dado con un curioso escrito al depurar la bandeja de salida de mi cuenta de email en Zbipp:

Professor Knuth,

In Concrete Mathematics, page 23, line 24, there is a statement concerning the number of appearances of the Σ sign within the book. It reads there that it's nothing compared with the appearances of the symbol in The Iliad. Well, now that I've just finished counting the instances of it in the aforementioned text by Homer, I can't agree with you on this matter anymore: the sign Σ appears less than a hundred times in the epic poem traditionally attributed to Homer.

So, unless you were referring to someone else's Iliad, presumably not Homer's, or meant sigma (Σ and σ), your claim is inaccurate and in need of some rewriting.

I hope you can let me know whether you have been told about this already.

Truly yours,
J. H. S.
(September 19, 2006)

La respuesta a la misiva anterior llegaría unas cuantas horas después:

Dear (my nom de plume),

Nice try, but the characters Σ and σ were not invented until many centuries after Homer's time. You must have been looking at a transliteration made fairly recently (i.e. less than 1000 years ago).

Cordially,
Don Knuth

La contestación marcaba el fin de mi primer intento por obtener el tan preciado dólar hexadecimal de parte de Knuth... El señor tendría el detalle de agregar después que en las primeras versiones escritas de la Ilíada sólo había sigmas mayúsculas pues, en general, las letras minúsculas no entrarían a formar parte del alfabeto griego sino hasta muchísimos años después...

Apartado para recordar

2010-04-21T15:46:00.010-07:00

"... El valor de un problema no radica tanto en su solución sino en las ideas que genera en el presunto solucionador cuando éste se ha determinado a resolverlo."

(Traducción libre a una afirmación de I. N. Herstein que aparece en el prólogo de la primera edición de su Topics in Algebra.)

Como podrán notar esa cita es uno de los principios fundacionales del sitio nuestro. ¿Qué opinan ustedes sobre ella?

Uno de la Miscelánea...

2010-04-19T07:06:00.007-07:00

64. Denotemos con S_n al grupo de permutaciones en n objetos. Sea d la aplicación con dominio S_n x S_n y codominio R que al par (f,g) asocia el número de puntos no fijos de la permutación f•g^-1. Demuestre que la dupla (S_n, d) es un espacio métrico.

Recuerdos de la campiña

2010-04-14T15:51:00.013-07:00

63. El triángulo ABC es tal que AB = 8 y BC = 10. Si además ∠ABC = 60° y ∠BCA = 30°, ¿cuál es el área del triángulo ABC?

La propuesta actual pretende fungir como testimonio fehaciente del aforismo aquél que señala que no hay rival pequeño. ¿Qué opinan ustedes al respecto, estimados post-lectores?

La efeméride del día

2010-04-09T23:52:00.021-07:00

... Zapata viaja a Chinameca, casi en la entrada del pueblo un ordenanza toca con su clarín la llamada a honores. La suerte del caudillo está echada.

(Adaptado de La tragedia griega en el contexto mexicano de S. Lazarini.)

Hasta muy pronto, amigos.

P.D. No hagan caso de la fecha que Blogger ha asignado a esta entrada. Escribo en el momento justo, en el día que debe ser, pero a los diseñadores del sitio les ha parecido buena idea hacerme quedar mal ante todos ustedes.

La piedra de toque del intelecto

2010-02-17T16:14:00.017-08:00

El turno de la propuesta número 62 ha llegado: en el diagrama de abajo mueven las blancas y dan mate en 3.

Espero que esta joya sea del agrado de todos ustedes. Gracias al buen amigo sotsir por haberme comunicado tan notable reto a la imaginación.

Cambio y fuera.

ASDF

2009-12-04T23:09:00.031-08:00

Merodeando en los archivos de Gaussianos he encontrado esta pequeña perla de la Teoría de Grupos:

- Sea (G, •) un grupo abeliano de orden n. Si F es el funtor olvidadizo que sale de Ab y llega a Set y F[(G, •)] = {a₁, ..., a_n}, determine a qué elemento de G es igual el producto a₁ • ... • a_n.

El problema fue publicado hace dos años en aquella bitácora y en el sector de comentarios respectivo se pueden encontrar algunas alternativas de solución a dicha propuesta. En las líneas siguientes presentamos una respuesta más que seguramente ganará la aprobación de todos ustedes. Veamos:

♦

Sea e el neutro del grupo (G, •). Dado que el grupo es abeliano, los factores presentes en (a₁ • ... • a_n) se pueden acomodar de tal manera que los elementos que no son involuciones queden al lado de sus inversos. Una vez hecho eso resulta evidente que calcular el producto de todos los elementos de un grupo abeliano finito se reduce a calcular el producto de todas sus involuciones. Por otra parte, al observarse que el conjunto que se obtiene al adjuntar el elemento neutro de un grupo abeliano finito (G, •) al conglomerado de sus involuciones es un subgrupo, el problema original se reduce a la consideración del caso cuando (G, •) es un 2-grupo abeliano y finito.

Si |G| = 2 se concluye que el producto de todos los elementos del grupo es igual a la única involución de (G, •). Si |G| > 2 entonces lo que se intuye es que G no debe tener involuciones distinguidas y de ahí que el producto de todas ellas tenga que ser igual a e. La prueba de esta última afirmación la llevamos a cabo por inducción.

Si |G| = 4 y el producto de todos sus elementos no es el neutro entonces e • a₁ • ... • a₃ = a₁ (por decir algo). De esta ecuación se obtiene que a₂ • a₃ = e y por tanto a₂ = a₃. Lo anterior es una contradicción y de ahí que la base de la inducción se tenga.

Supongamos entonces que el resultado es cierto para todo grupo cuyo orden es menor que 2ⁿ. Veamos ahora lo que ocurre al estudiar grupos de orden 2ⁿ.

Todo grupo abeliano finito tiene un subgrupo por cada divisor de su orden. Sea entonces (H, •) un subgrupo de orden 2^n-1 en un grupo (G, •) de orden 2ⁿ. El índice del subgrupo (H, •) es 2 y de ahí que

G = H ∪Ha

para alguna a en G y no en H. De lo anterior se desprende de inmediato que G = {a₁, ..., a_2^n-1, a₁a, ..., a_2^n-1a} y por tanto el producto de todos los elementos de G es

(a₁ • ... • a_2^n-1)( a₁a • ... • a_2^n-1a) = (a₁ • ... • a_2^n-1)²a^{2^n-1} = e,

tal como se había anunciado.

♦

No dejen de postearnos sus opiniones con respecto al argumento éste. Siendo sinceros, los que ví en Gaussianos me parecieron un tanto sobrados y de ahí el impulso por pensar en uno más acá. Saben a lo que me refiero, ¿no?

Una exclusiva más de su bitácora favorita...

Una cita...

2009-11-24T15:34:00.024-08:00

_____________ que leí en un libro de M. Perero hace siglos y cuyos orígenes acabo de desmitificar en estos días. Voy a dejar aquí la referencia exacta por dos razones: una, necesito comparar mi interpretación de la primera línea de la frase con alguien más; dos, quiero tenerla a la mano por aquello de los debates que se suelen suscitar con el Infinitum que en Gaussianos tanto se tiende a mencionar:

"... The membership of Bourbaki seems to vary between 10 and 20. With one conspicuous exception all the members have always been French. The exception is Samuel Eilenberg (originally from Warsaw, now at Columbia University). Known to the friends of his youth as S²P² (for Smart Sammy the Polish Prodigy), Eilenberg is a charming extrovert who learned more about the U.S. within six months of his arrival than most Americans ever find out. (One of the first things he did was to go on an extended hitchhiking tour.) Since he speaks French like a native and knows more algebraic topology than any Frenchman, the unwritten rule restricting Bourbaki to Frenchmen was waived to admit him."

Paul R. Halmos en Scientific American, Vol. 196, págs. 88-89, 1957.

Hasta muy pronto, amigos...

Muy bueno

2009-11-17T03:47:00.019-08:00

¿Qué hay de nuevo, estimados lectores?

La propuesta del día de hoy será un parteaguas en la historia de su blog favorito. Espero que sea del agrado de todos:

60 y pico. Un subconjunto S de los números naturales es gordo si la serie conformada por los recíprocos de los elementos de S diverge. ¿Puede usted dotar a N de una topología T de tal manera que se tenga una correspondencia biunívoca entre los densos de N —según la topología T— y los elementos gordos de P(N)?

La pregunta ha surgido de modo natural en el curso de ciertas lecturas en Aritmética. El que ahora escribe^* cuenta con una solución para el problema, pero estaría más que encantado de leer los resultados de las investigaciones de todos aquellos que acepten el reto.

Saludos a todos.
______________
^* No necesariamente tiene que tratarse del dueño original del blog. Una explicación de ésta potencial dicotomía fue dada por Heráclito hace mucho tiempo y es por todos conocida:

Las aguas no son las mismas, tampoco lo somos nosotros. Las cosas son y no son a la vez, pues a la vez que son, están dejando de ser...

¡Vooolver!

2009-09-19T17:47:00.011-07:00

3C. Sea k un número natural mayor que 1. ¿Se puede hacer una partición de N con ayuda de k progresiones aritméticas donde ningún par de ellas compartan la misma diferencia común?

Una medalla de chocolate al primero que postee una solución completa a este retito. El premio de consolación para todos los demás consiste en una dotación de cordiales saludos. :)

Au revoir...

Y volver, volver...

2009-08-19T16:21:00.032-07:00

El objetivo de la entrada actual es uno solo: retomar el contacto con todos ustedes, estimados lectores... Sentimos mucho el habernos distanciado del changarro en estas últimas semanas.

Antes de presentar el reto del momento quisieramos hacer un par de anotaciones con respecto al problema 58. En los comentarios de la entrada respectiva se publicó un intento de solución a la propuesta. Dicha solución hace mención a un hecho que excede en demasía la estatura de nuestro problema. Me atrevo a pensar que esa es la opinión que más de uno de ustedes mantiene con respecto a tal argumento. Espero que la solución oficial que presentamos a continuación les resulte más transparente a todos:

Solución. Decimos que un número tiene la propiedad S si él se puede expresar como la suma de seis cuadrados perfectos positivos (esta convención la hacemos con el fin de agilizar la redacción de lo que viene). Como 2009 = 7²(6² + 1² + 1² + 1² + 1² + 1²), se sigue que 2009 tiene la propiedad S. Esto implica de inmediato que toda potencia impar de 2009 posee dicha propiedad. En efecto, si k es un número natural arbitrario se cumple que 2009^2k+1 = (2009)^2k(2009), tal como habíamos anunciado.

Para las potencias pares se procede de modo análogo y en realidad la única dificultad en dicho caso radica en establecer que 2009² tiene la propiedad S. Dicha parte se reduce a su vez a probar que el cuadrado de 41 cumple con la propiedad. Para mostrar esto notamos que

41² = 37² + 74 · 4 + 4² = 37² + 2²(6² + 6²+1²+1²) + 4²

y la demostración termina.

Resta entonces presentar la propuesta del momento:

59. Pruebe que todo entero n tiene infinitas representaciones de la forma

± 1² ± 2² ± ... ± k²

para una k adecuada (en cada caso) y una elección pertinente de los símbolos + y -.

Suerte a todos con ella. ¡Hasta muy pronto!

El del año: para no dejar

2009-06-09T16:10:00.020-07:00

Hola a todos,

La propuesta del momento es bastante ligera. No obstante, creo que tiene todo lo necesario para cautivar la atención de los suspicaces seguidores de este blog. Espero no defraudar a ninguno de ustedes con ella:

58. Demuestre que toda potencia natural de 2009 se puede expresar como la suma de seis cuadrados perfectos positivos.

Por favor, no dejen de comunicarme sus soluciones para esta perla de la Aritmética. ¡Hasta muy pronto!

Para no irse por la banqueta

2009-05-23T19:46:00.019-07:00

Hola a todos,

He aquí una imagen que me encontré en la Wikipedia hace unos días. Se trata, nada más ni nada menos, de una especie de homenaje que el gobierno de Pekín rindió en 2008 al teorema del valor medio. Mirad:

Toda una joya del paisaje urbano pekínes, ¿no lo creen?

Según esto, la foto se tomó a sólo unas cuadras al sur de la Plaza de Tiananmen.

El reto del momento consiste en obtener testimonios sobre la autenticidad de la imagen. Una vez hecho esto queda una interrogante más que resolver. ¿Qué dice el letrero que está en el otro costado del puente? ¿Se trata acaso de una demostración —en una línea— del teorema?

Saludos a todos. Espero saber de ustedes muy pronto.

Seguro-Social: ¡tenemos un problema!

2009-04-27T13:31:00.062-07:00

57. Sea $\mathcal{L}$ una familia de rectas en el plano. Demuestre que si cualesquiera tres rectas de $\mathcal{L}$ se intersectan en un punto, entonces todas las rectas de $\mathcal{L}$ tienen un punto en común.

Quid, me anxius sum?
Esperamos que la propuesta sea de su agrado. Suerte a todos con el reto del día y con la recién prescrita cuarentena.

¡Salud!

Una solución más

2009-04-13T10:21:00.022-07:00

Presentamos a continuación la solución oficial al problema 50 de la Bitácora. Esta entrada ha sido fuertemente inspirada por este post de José Manuel.

La solución es en 5 pasos:

1. Moldeamos el cuerpo del hombre hasta que quede como se ilustra a continuación:

2. Jalamos los brazos hacia el cuerpo hasta que las muñecas peguen con él. Queda:

3. Desentrelazamos ahora ambas manos:

Después de haber efectuado la operación indicada se tiene:

4. Sacamos del cuerpo del hombre las porciones de mano que fueron sumidas en 2:

5. Para concluir basta retocar un poco lo obtenido en 5. Básicamente lo que se hace aquí es invertir el proceso que nos llevó de la figura original (hombre con manos entrelazadas) a 1.

¡Voilà!

Espero leer sus comentarios sobre esta solución muy pronto. He aquí un par de propuestas muy parecidas a esta:

Hasta muy pronto, amigos.

De Gunron y otros males

2009-03-30T14:17:00.024-07:00

La propuesta para este día es bastante inocente. No obstante, será el tema central de una cantidad importante de discusiones subsiguientes:

56. Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Muestre que si H no es subgrupo normal de G, entonces el número de clases laterales de H en G es al menos 3.

Reciban un cordial saludos desde estas áridas tierras. Cambio y fuera.

Importante: Tengo una demostración extremadamente graciosa de este resultado. Conozco también la solución standard... ¿Podrá alguien presentar una verificación novedosa del aserto?

¡Sorpresa!

2009-03-19T06:40:00.005-07:00

¿Recuerdan el problema de la banda elástica azul que enrollaba a una de las orejas de la suma conexa de un par de toros colorados?

Les presento a continuación un boceto de la solución oficial para dicho problema. Deseo que las dudas sobre la (im)posibilidad de efectuar el translado se disipen de una vez por todas.

Buen día a todos. Gracias por visitarnos.

Viejito pero ponzoñoso

2009-03-07T12:35:00.015-08:00

Espero que la nueva propuesta logre cautivar la atención de todos.

55. Un conjunto finito de puntos en el plano tiene la propiedad de que para cualquier par de puntos del conjunto la recta generada por ellos pasa por un tercer punto del conjunto. Demuestre que todos los puntos del conjunto son colineales. ¿Es esencial la hipótesis de que el conjunto de puntos sea finito?

Sí se lo sabe, no cante. Entreténgase mejor con este enigma de ese granuja de Copperfield.

...oʇuoɹd ʎnɯ ɐʇsɐH

Febrero loco...

2009-02-07T20:08:00.024-08:00

Hola a todos,

Tenía tiempo que no escribíamos por estos lugares... Esto se debe principalmente a un serie de acontecimientos escolares de cuya existencia no quisieramos acordarnos. Aún con eso, estuvimos pensando en ustedes todo el tiempo y como muestra de ello tienen a la notable propuesta

54. Demuestre que toda función se puede expresar como la composición de una aplicación sobreyectiva, una biyectiva y una inyectiva.

Esperamos ahora que ustedes pongan las manos a la obra cuanto antes. Expertos: favor de no abstenerse. Sobrinos en general: no me fallen, no me fallen.

Arrivederci.

Y. P.

√2 unplugged

2009-01-26T09:02:00.027-08:00

La irracionalidad de √2 puede probarse de distintas maneras. A continuación presentamos una breve recopilación de demostraciones de este hecho.

1. Una de las primeras pruebas del resultado aparece en el libro III de los Elementos de Euclides. Tal prueba es con toda certeza una de las demostraciones más conocidas del teorema.

Supongamos que √2 es racional. Entonces, √2 = a/b, donde a y b son enteros. Se puede suponer además que a y b son coprimos, esto es, que no tienen divisores comunes aparte del 1. Se tiene entonces que a = √2b y por tanto a²= 2b². Esto indica que 2 divide a a². Como un producto de dos impares es siempre impar, se deduce de la afirmación anterior que a debe ser par. Luego, a = 2k para algún entero k y por tanto 4k² = a² = 2b². De la cadena previa de igualdades se sigue que 2k² = b². Por tanto, b² es divisible por 2 y como se vió antes, esto implica que b también debe ser divisible entre 2.

Tenemos entonces que a y b tienen al 2 como divisor común; esto contradice la supuesta coprimalidad de a y b y la prueba concluye.

2. En una línea cercana a la de la prueba anterior tenemos al siguiente argumento de Enzo R. Gentile.

Sean m y n dos enteros arbitrarios. Trabajando módulo 3 podemos verificar fácilmente que la expresión m² + n² es divisible entre 3 si y sólo si tanto m como n son divisibles entre 3.

Supongamos entonces que √2 es racional y que √2 = a/b, con a y b enteros coprimos. Al elevar al cuadrado ambos lados de la igualdad anterior se obtiene que 2 = a²/b² y de ahí que a² = 2b². Si sumamos b² en ambos miembros de la ecuación previa se llega a que a² + b² = 3b². Esto indica que la expresión a² + b² es divisible entre 3 y de la observación hecha en el párrafo anterior se concluye que 3 es divisor común de a y b.

Esto contradice la suposición de que a y b no tenían divisores comunes mayores que 1 y concluye la demostración.

3. Dejamos ahora el terreno de lo clásico y pasamos a un contexto un tanto menos distante a nosotros. En 1975, el matemático alemán T. Estermann publicó la novedosa demostración que presentamos a continuación.

Procedemos nuevamente por contradicción. Supongamos que √2 es racional. Existe en tal caso un entero positivo mínimo k con la propiedad de que k√2 es entero. Por otra parte, sabemos que 1 < √2 < 2 y por tanto k < k√2 < 2k. Luego, K = (√2-1)k es un entero positivo menor que k. Dado que

K√2 = (√2-1)k√2 = 2k - k√2

es un entero positivo, hemos llegado a una contradicción con la minimalidad de k. Así, la suposición de que √2 es racional no puede ser cierta y la irracionalidad del número se sigue.

4. Las siguientes 2 pruebas dependen de resultados conocidos del Álgebra. Las hemos puesto en un mismo apartado pues la idea básica de las demostraciones es la misma, pero la manera de alcanzar la conclusión es ligeramente distinta en cada caso.

- Prueba α. Consideremos el polinomio p(x) = x² - 2. El teorema de ceros racionales indica que si r/s es un cero racional de p(x) entonces r debe ser un divisor de 2 y s un divisor de 1. Por tanto, las posibilidades para ceros racionales de p(x) son 2, -2, 1 y -1. Así, si √2 fuera racional, la observación de que p(√2) = 0 implicaría de inmediato que √2 = 2 ó √2 = 1. La aseveración anterior es claramente absurda y de ahí que √2 no sea racional.

- Prueba β. Del criterio de Eisenstein se sigue que el polinomio p(x) = x² - 2 es irreducible en Q[x]. Supongamos ahora que √2 es racional. Esto implica de inmediato que p(x) = x² - 2 = (x - √2)(x + √2) es reducible en Q[x]. Lo anterior entra en contradicción con lo aseverado en la primera oración de esta prueba y de ahí la irracionalidad de √2.

5. Supongamos que √2 es racional. Al elevar al cuadrado ambos lados de la igualdad y despejar a² se llega a que a² = 2b². Ahora bien, al fijarnos en la descomposición en primos del número n = a² = 2b² se tiene que el exponente del 2 en la descomposición de n es par y también impar. Esto entra en contradicción con la unicidad asegurada por el teorema fundamental de la Aritmética y de ahí el resultado.

6. Tenemos ahora la última prueba de la antología. Se trata nuevamente de un elegante argumento por contradicción.

Supongamos que √2 es racional. Digamos que √2 = a/b, donde a y b son enteros. Al elevar al cuadrado ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene 2 = a²/b² y de ahí que a² = 2b².

La anhelada contradicción se alcanza en este caso del modo siguiente. La representación binaria del cuadrado de un entero termina siempre en un número par de ceros. Esto implica que al reescribir la igualdad a² = 2b² en binario, el lado izquierdo terminará con un número par de ceros y el lado derecho en un número impar, pues la multiplicación por 2 estará agregando un cero más a la cola de b². Se sigue de esto último que √2 no puede ser racional y la prueba termina.

Todas las demostraciones presentadas son por reducción al absurdo. La relectura de la apología de Hardy es inevitable en este momento:

"La reducción al absurdo, que Euclides tanto venerara, es una de las armas más finas del matemático. Es mucho mejor gambito que cualquiera de los del ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un peón u otra pieza, pero un matemático ofrece la partida entera..."

Ojalá que la entrada sea de su agrado. No duden en comunicarnos sus demostraciones favoritas del resultado. ¡Hasta pronto!

Típico

2009-01-21T10:33:00.011-08:00

Presentamos a continuación la propuesta de la semana. Se trata de un ejercicio para estimular el cálculo mental. Espero que les guste:

53. Se escoge un número a en el intervalo [0,5]. ¿Cuál es la probabilidad de que las raíces de la ecuación 4x² + 4ax + a + 2 = 0 sean reales?

Suerte a todos en la contienda. El sólo hecho de visitarnos les ha hecho acreedores a un bonito regalo:

Idus de enero

2009-01-13T09:30:00.023-08:00

He aquí el primer problema del año... Ojalá que la propuesta logre cautivar la atención de todos.

52. Para cada número natural n exhiba un conjunto C de n números naturales tal que ningún subconjunto de C tenga por suma de elementos a un cuadrado perfecto positivo.

Reciban nuestros mejores deseos para este año que acaba de iniciar. Deseamos de todo corazón que 7² · 41 sea un año repleto de satisfacciones para ustedes.

¡Hasta muy pronto!

Un regalo...

2008-12-18T12:26:00.016-08:00

que Santa Gauss me ha dejado para todos ustedes... Espero que sea de su agrado. En todo caso, les comunico por adelantado que él no admite devoluciones:

51. Sea p el factor primo más pequeño del número n. Pruebe que si p > n^1/3 entonces n/p es primo o es exactamente igual a 1.

¡Hasta muy pronto!

¡Todos al rescate!

2008-12-02T12:24:00.039-08:00

He aquí la propuesta del día:

50. ¿Podrían indicarle al hombre-goma de la figura una manera de desentralazar sus manos sin hacer uso del elegante tijerazo u otro procedimiento de índole similar?

Tenemos por vez primera una propuesta que es mucho más que un contingente reto matemático. El problema surge en realidad como una llamada de auxilio, estimados lectores. El hombre-goma de la figura desea escapar de los hampones que le tienen cautivo, pero para ello necesita soltarse de las manos en primer lugar. Por favor, ayúdenle al maestro a no volverse parte de las estadísticas.

Espero ansiosamente saber de ustedes y sus soluciones.

5-mentarios

2008-11-21T11:50:00.022-08:00

49. Sea H_n el n-ésimo número armónico. Reduzca a su mínima expresión el valor de la siguiente suma

H₂/2·1 + H₃/3·2 + ... + H₂₀₀₈/2008·2007 + H₂₀₀₈/2008.

Un saludo cordial a todos los seguidores de este proyecto. Nunca está de más reiterarles el agradecimiento por el favor de su atención. Sin ustedes seríamos, creánlo, mucho menos que nada.

L'expérience

2008-11-05T19:44:00.014-08:00

La primera propuesta del mes. Bastante leve... No obstante, espero que logre apelar a su hueso-del-interés. Un verso sin esfuerzo, ¿eh?

48. Todo cubo perfecto se puede escribir como la diferencia de dos cuadrados perfectos. ¿Falso o verdadero?

Suerte a todos con el retillo. ¡No dejen de hacernos llegar sus soluciones!

De los favoritos

2008-10-23T21:09:00.007-07:00

Espero que la propuesta del día de hoy sea del agrado de todos ustedes:

47. Demuestre que existen infinitas tercias de números naturales consecutivos que se pueden escribir como suma de dos cuadrados.

No dejen de comunicarnos sus soluciones. ¡Hasta muy pronto!

Diálogo entre dos mundos

2008-10-15T08:56:00.026-07:00

1: Los acertijos me fascinan.
2: Oye, ¡qué bien! A mi también me gustan mucho. ¿Quieres resolver uno ahora mismo?
1: De acuerdo.
2: (46) Un hombre vió un pescado y por esa razón se pegó un tiro. ¿Cómo es eso posible?
1: (Con un marcado dejo de desdeño.) Ese no es un acertijo matemático...
2:

¡Viene la nieve!

2008-10-08T12:02:00.014-07:00

El fin del bendito Vendimiario se encuentra distante todavía. Un instante de solaz es más que oportuno en estos momentos:

45. Un manaña comenzó a nevar en forma intensa y a una tasa constante. Un quitanieves empieza a remover la nieve a medio día y avanza 2 kilómetros durante la primera hora y sólo un kilómetro durante la segunda. Si el quitanieves remueve un volumen constante de nieve por hora, determinar la hora en la que la nieve empezó a caer en ese día.

No dejen de hacerme llegar sus anotaciones, por favor. ¡Hasta muy pronto!

¡Estamos de vuelta!

2008-09-28T14:58:00.004-07:00

44. Denotemos con φ a la función de Euler y con F_n al n-ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci. Demuestre que φ(F_n) es divisible por 4 siempre que n es mayor o igual a 5.

Espero que la propuesta sea del agrado de todos ustedes. Suerte a todos en la contienda.

¿Hambre?

2008-09-11T03:41:00.024-07:00

43. Dos toros, A y B, están enlazados como se indica en la figura. La zona sombreada sobre B corresponde a la boca de dicho toro. Suponga que tenemos permitido manipular a voluntad ambos toros (siempre y cuando no efectuemos corte alguno). ¿Habrá alguna manera de proceder para hacer que el toro B degluta al toro A?

La revelación que tanto se necesitaba, ¿no es así? Mucha suerte a todos con esta bonita propuesta.

B-Day

2008-08-31T17:18:00.030-07:00

Se llamaba... La celebración acaba de entrar a la tierra de nadie:

42. Denotemos con σ al promedio de los elementos del conjunto {x, y, z}. Si σ ∈ {x, y, z} demuestre que x, y, z están en progresión aritmética.

No dejen de festejar, pero sobre todo de comunicarnos sus resultados. Les debo por ahora lo de las 5 ligas. Prometo comunicárselas en los próximos días. Hasta entonces.

Contorsionismo matemático

2008-08-27T14:20:00.017-07:00

41. Alrededor de una de las orejas de T#T se encuentra enrollada una banda elástica de color azul, tal y como se ilustra aquí:

Demuestre que es posible llevar la banda azul hacia el talle de T#T, sin necesidad de corte alguno:

Agradezco al buen Aubín el habernos echado la mano (involuntariamente) con las ilustraciones para este circo-post.

Un cordial saludo para todos los incondicionales de la Bitácora. Hermanos, no dejen de seguirnos. La recompensa llegará muy pronto.

Sale de ahí...

20 años después

2008-08-20T12:52:00.010-07:00

40. Sea G un grupo simple y no-abeliano. Sea f un automorfismo de G que satisface x · f(x) = f(x) · x para cada x ∈ G. Demuestre que f es exactamente el elemento neutro de Aut(G). Con dedicatoria especial para el maese. Ustedes saben muy bien quién, ¿qué no?

Hasta la próxima.

北京 Special

2008-08-09T11:36:00.018-07:00

39. Sean p y q dos números reales positivos y arbitrarios. ¿Habrá una manera de predecir la naturaleza (racional-irracional) del número p^q? Formule el contraejemplo más general posible que avale la validez de su conjetura.

Mucha suerte a todos los que decidan abordar la propuesta. Hasta muy pronto.

Hab. 27

2008-07-27T08:47:00.018-07:00

Un problemilla que no pueden dejar de atacar, mis amigos. Idóneo para esas interminaaables jornadas veraniegas/invernales (según sea el caso). Espero ansiosamente saber de ustedes y sus respuestas. Como dijera el buen DiAmOnD de Gaussianos: todos a por él...

38. Sea n un número natural. Determine el número de puntos reticulares del plano que pertenecen al interior de la región determinada por la desigualdad |x| + |y| ≤ n.

Propuesta dominical

2008-07-13T11:09:00.017-07:00

37. Un rectángulo R ha sido adoquinado con un número finito de rectángulos p₁, ..., p_n. Al menos un lado de cada rectángulo p_i tiene longitud entera. Demuestre que el rectángulo R ha de tener también un lado de longitud entera.

El caso n=1 es trivialmente cierto, ¿qué no?

Tienen aquí mi primer intento por reivindicar el camino después de la infame asignación 36. Espero que la propuesta sea capaz de producir el efecto esperado. ¡Salu-2 a to-2!

A propósito de...

2008-07-09T16:24:00.011-07:00

Hola a todos,

El vidrio de mirar les tiene reservada una muy grata sorpresa. Nada más ni nada menos que la trigésimo-sexta en su tipo. Por favor, no dejen de abordarle.

Reciban un cordial saludo desde el centro de operaciones de su bitácora favorita.

Retos de la vida real

2008-07-04T17:13:00.018-07:00

35. A, B y C son casas de la infame ciudad de Sing Sing. W, G y E representan las fuentes de los suministros de agua, gas y electricidad (respectivamente) de dicha comunidad. Encuentre una manera de conducir los mencionados servicios a cada una de las residencias A, B y C, sin que las tuberías empleadas se intersecten en punto alguno.

En la ilustración de arriba se presenta una manera de llevar a cabo el tendido de las tuberías, no obstante, se trata de un tendido inadmisible pues las tuberías se cruzan todas al menos una vez.

¡Suerte con el retito, amigos! No dejen de postearnos sus soluciones.

¡Hasta la próxima!

¿Un efecto inesperado?

2008-06-30T17:10:00.023-07:00

El siguiente problemilla va dedicado a todos los coterráneos del Bam-Bam que nos visitan de manera regular.

¡Me ha sido muy grato interactuar con todos ustedes en estos últimos días, apreciados bacanes! Suerte con esa propuesta; sé que no la dejarán ir viva. Espero tener noticias suyas muy, muy pronto.

34. Demuestre que existen infinitos números triangulares que son cuadrados perfectos.

P. D. Al parecer la cosa no está tan mal. Al menos tenemos al 1 por ahí, ¿qué no? ¡Hasta pronto!

¿Tala-schaum?

2008-06-25T13:02:00.015-07:00

33. Demuestre que existe un número complejo z tal que

z⁷ + cos(|z²|)(1 + 93z⁴) = 0.

El jefe recomienda que no se intente calcular el número z de manera explícita. Como si hubieramos pensado en ello siquiera, ¿no?

Suerte a todos con la propuesta. Sé que del agrado suyo será.

16-06: Apartado para recordar

2008-06-16T23:59:00.022-07:00

S. M. P.

Un pequeño tributo al recuerdo del hombre. La propuesta es tan inusual como la obra misma. Saben a lo que me refiero, ¿qué no?

32. Sea G un grupo finito no-abeliano y P(G) la probabilidad de que dos elementos arbitrarios de G conmuten. Encuentre una cota superior (no trivial) para el número P(G).

¿Estrenando? ¡No! Vel Rosita.

2008-06-09T11:48:00.039-07:00

Una sorpresa os aguarda, estimados lectores. ¿Bacán, no?

Bueno, quizás no tanto: únicamente se le puede encontrar encubierta bajo su disfraz de spandex en forma de 31. ¿Saben dónde?

No olviden hacernos llegar sus comentarios con respecto al espejo que acabamos de adquirir.

Happy Solving!

Don Joaquín

2008-05-29T16:12:00.014-07:00

30. La Biblioteca de la escuela de Shé tiene un acervo de N libros. Diariamente Shé selecciona al azar el registro de un libro para consultarle.

¿Cuál es el número medio de días que han de pasar hasta que Shé consulte todos los libros de la Biblioteca al menos una vez?

Con especial dedicatoria para Don J. Las salvadas jamás han pasado desapercibidas, Don.

¡Hasta muy pronto!

Cuando se tiene tarea...

2008-05-24T18:11:00.023-07:00

Hola a todos,

Es con gusto que les informamos hoy de la puesta en disposición del mencionado Reporte de Actividades 2007-2008 de la Bitácora. En él se puede encontrar la solución oficial al profoblefemafa de la competencia efectuada el mes pasado.

Les agradecemos de manera infinita la paciencia mostrada para-con nosotros. Esperamos seguir contando con el favor de su preferencia durante todo lo que resta de Y2K+08: ¡por lo menos!

¡No dejen de visitarnos! 30 se encuentra ahora a la vuelta de la esquina.

[Ir al Reporte]

Resultados del Abierto y el 29

2008-04-28T12:22:00.022-07:00

Lo admito. Me había estado colgando en los plazos para la publicación de resultados.

Ello se debe primordialmente a que la única propuesta de solución recibida resultó inadecuada. Ergo, el gran premio se ha declarado desierto.

La solución oficial al problema planteado (junto con las soluciones recabadas para los demás retos de la Bitácora) aparecerá dentro del Reporte de Actividades 2007-2008 de su blog favorito. Sólo necesito un poco de paciencia, tiempo e inspiración. Ustedes comprenderán.

Muchas felicitaciones a todos aquellos que tomaron parte en la contienda. Como ya mencioné en un post previo, sin la bondad de su atención seríamos, hoy por hoy, mucho menos que polvo.

Dejo por mientras los siguientes enigmas a su consideración. Espero sean del agrado de todos Ustedes.

29. Justifique el éxito del acto de Ferdy. Compare con el problema M328 de Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem e invente a continuación un nuevo truquillo en la misma línea de los aquí propuestos. Una vez logrado todo esto, vuelva al nido a postearnos las impresiones que la odisea les haya dejado. :)

¡Suerte a todos! ¡Cambio y fuera!

Eso de desiertos suena a ...

Deliberando

2008-04-24T15:10:00.026-07:00

Gracias a todos aquellos que decidieron tomar el reto hasta sus últimas consecuencias. Su dedicación es el aliciente que nos da la fortaleza para sobrellevar los días en la jungla de la cotidianidad. ¡Mil gracias por eso y por muchas cosas más!

En breve daremos a conocer los resultados de la evaluación del Comité Organizador. ¡No dejen de visitarnos!

La hora de la verdad

2008-04-18T11:16:00.029-07:00

Estimados post-lectores,

En días pasados se había anunciado la posibilidad de realizar una pequeña competencia por acá. Pues bien, me complazco en informarles que finalmente la hora ha llegado. El tan esperado abierto da inicio hoy. La oportunidad de obtener fama-y-fortuna jamás había estado tan cerca de su alcance. Por favor, ¡no dejen de aprovecharla!

La mécanica del concurso es como sigue:

* La competencia consiste en resolver el problema que aparece enunciado líneas abajo.

* Las propuestas de solución tienen por fecha límite-de-entrega el Martes 22 del presente mes. Sus soluciones deberán ser enviadas a @gmail.com en archivos de extensión tex o pdf.

* Se aconseja que no se publiquen comentarios explícitamente relacionados con la solución del problema bajo la entrada actual. La idea es que la competencia convocada se tome lo más en serio posible y que la determinación de ganadores sea tan justa como es debido.

* Se otorgarán premios a los 2 primeros lugares del evento y es por ello que se solicita que anexa a la solución que nos hagan llegar se sirvan anotar alguna dirección física donde les podamos contactar.

* El dictámen del Cómite Organizador será inapelable y se dará a conocer en su frecuencia favorita a más tardar el día Sábado 26 del mes que corre.

Una vez aclarados dichos puntos no me queda más que desearles a todos una muy próspera contienda. Cualquier otra duda que les pueda surgir con respecto a las bases del evento, no duden en hacérnosla llegar.

Aprovecho para agradecer todas las muestras de atención que en estas últimas semanas este blogcito suyo ha recibido. Sin el favor de su atención, seríamos muchos menos que nada.

¡Hasta la victoria siempre!

28. Sea F el conjunto conformado por todos los números de Fibonacci que son impares y perfectos (simultáneamente). Encuentre, con demostración, el cardinal del conjunto F.

De Bangladesh, para todo el mundo

2008-04-08T15:25:00.006-07:00

27. Se dice que una recta en el plano (cartesiano) es noble si pasa por infinitos puntos de coordenadas enteras. Suponga que l₁ y l₂ son rectas del plano que se cortan en un ángulo de 45° y cuyo punto de intersección tiene coordenadas enteras. Demuestre que si una de las rectas es noble entonces también lo es la otra.

Una muy bonita propuesta, sin duda. Ojalá les guste.

En remembranza del hombre

2008-04-02T13:40:00.011-07:00

26. ¿A qué número entero es igual la expresión de abajo?

(1+2(1+3(1+4(1+...)^1/2)^1/2)^1/2)^1/2.

En honor a Ramanujan y motivado por la más reciente entrada de Diamond en Gaussianos.

¡Suerte a todos los que sean tentados con éste!

Con sabor a Geometría

2008-03-26T16:32:00.009-07:00

25. Digamos que tenemos 5 puntos distintos sobre la superficie de una esfera. Demuestre que podemos encontrar un hemisferio cerrado de la esfera que contenga al menos 4 de los 5 puntos dados.

¿Cómo lo ven? Bastante atractivo, ¿verdad? No dejen de intentarlo.

P.D. Gracias por el problema, Octavio. ¿Qué hay de nuevo por allá? :)

Tú cortas, yo elijo

2008-03-12T01:27:00.010-07:00

24. El título de la entrada da la solución al problema de la división de un pastel en rebanadas equitativas cuando son dos las personas que se lo están repartiendo. Eso luce bastante justo para ambas partes. La pregunta que surge ahora es: ¿Cómo puede dividirse de manera equitativa un pastel entre tres personas?

Espero recibir sus soluciones en breve. Gracias de antemano por tomarse el tiempo de visitarnos.

Avogadro, Michael Jordan, et al.

2008-03-06T17:52:00.013-08:00

23. Demuestre que todo número entero se puede escribir como suma de 5 cubos perfectos.

Espero no quedarle mal al ubicuo 23 con esa propuesta. Muy a la Waring, de lo mejor que tengo para él.

Saludos a todos los seguidores de este blog. Andamos quemando encabezado. Quizás ya lo hayan notado. ;)

Cambio y fuera.

El problema del año

2008-03-01T15:04:00.007-08:00

22. Existe un elemento de la sucesión de Fibonacci divisible entre 2008. ¿Cierto o falso?

Espero recibir alguna respuesta muy pronto. ¡Suerte a todos los que pretendan atrapar-a-22!

Humphrey Bogart dice

2008-02-14T13:45:00.030-08:00

21. Considere los números de la lista siguiente: 2^2⁰ + 1, 2^2¹ + 1, 2^2² + 1, 2^2³ + 1, ...

Demuestre que cualesquiera dos elementos de dicha sucesión son primos relativos. Deduzca a partir de esto la infinitud del conjunto de los números primos.

"Don't you sometimes wonder if it's worth all this? I mean, what you're fighting for..."

DISCLAIMER: (¿sabe alguien cómo se traduce eso?) No hay relación alguna entre el nombre de la entrada y el problema en cuestión: supuse tan sólo que era un buen día para recordar al hombre. ¡Hasta la próxima, amigos!

Grupos: uno de calentamiento

2008-02-07T11:21:00.002-08:00

20. Sea G un grupo finito. Demuestre que los elementos de G que tienen por orden a un divisor de |G| forman un subgrupo de G.

Saludos a todos.

¿La gran G?

2008-01-20T10:56:00.003-08:00

19. Un polinomio p(x) al dividirlo entre (x-a) da por residuo a, al dividirlo entre (x-b) da por residuo b y al dividirlo entre (x-c) da por residuo c. Encuentre el residuo de dividir al polinomio p(x) entre

(x-a)(x-b)(x-c).

No dejen de sintonizarnos. Se anuncia la futura realización de un abierto de quickies por acá. ¡La gloria os aguarda, mis amigos!

Año nuevo, ¿reto nuevo?

2008-01-15T12:24:00.002-08:00

18. Una carretera de 50 millas de largo comunica dos ciudades A y B. Demuestre que no se puede viajar en automóvil de A a B exactamente en una hora sin que el velocímetro marque 50 mi/h al menos una vez durante el recorrido.

Espero saber de ustedes y sus respuestas. ¡Buena suerte a todos!

¿Será?

2007-12-20T13:30:00.002-08:00

17. Existen dos matrices cuadradas A y B tales que AB-BA es igual a la matriz identidad. ¿Cierto o falso?

J-S-C: In memoriam

2007-10-18T17:38:00.004-07:00

16. Chucho tiene m bolsillos y n monedas. Quiere poner las monedas en los bolsillos repartiéndolas de tal modo que cada bolsillo contenga un número diferente de monedas. Dar una condición suficiente que asegure la posibilidad de la repartición.

Saludos.

¿Regreso a la Primaria?

2007-10-16T11:38:00.004-07:00

El 1729 es un número muy famoso, muy metiche. Alusiones a él son comunes en relatos sobre la vida de Ramanujan. Feynman le dedica también algunas líneas en su célebre Surely you are joking, Mr. Feynman!

En este blog no podríamos quedarnos atrás en la adoración al número y es por ello que en este día nos decidimos a preguntar lo siguiente

15. 1) ¿Cómo expresaría al 1729 con ayuda de sólo tres números 2 y cualesquiera operaciones matemáticas entre ellos?

2) Misma pregunta que en 1, pero ahora sólo se puede hacer uso de un sólo 4, en lugar de tres 2.

De figurados y esas cosas

2007-09-26T18:13:00.005-07:00

13. Denotemos con p(n) al n-ésimo número pentagonal. Calcule la suma de la siguiente serie infinita:

1/p(1) + 1/p(2) + 1/p(3)...

Uno de Gallegos

2007-09-24T18:07:00.004-07:00

Tengo el honor de introducir ahora un problemilla que mi viejo amigo Mario me hizo llegar hace algún tiempo. Se tenía la intención de sacar un paper a partir de él, pero tiempo después nos percatamos de que I. Niven se nos había adelantado en la idea desde hacía mucho. De todos modos, lo pongo aquí para que le echen un ojo y nos hagan llegar sus soluciones.

12. Considere 2 polígonos regulares isoperímetros; uno de ellos de n lados y el otro de n+1 lados. ¿Cuál de los dos será el de mayor área? Sugerencia: Déjese llevar por su intuición.

Aunque la idea del artículo es ahora cosa del pasado, se sigue teniendo la intención de subir todas las soluciones que se recaben a algún rincón de la red. Mario tiene una, un servidor suyo cuenta con otra. Cada una de dichas soluciones es esencialmente diferente una de la otra y ambas relativamente distintas de la que Niven alguna vez concibió. Entre sus soluciones podría figurar una cuarta alternativa. No dejen de hacérnosla llegar.

Uno más en sumación

2007-09-19T15:41:00.008-07:00

He aquí un retito más. Espero que sea de su agrado.

11. Encuentre el valor de la siguiente suma:

$\displaystyle \frac{1}{\log_{2} N}+\frac{1}{\log_{3} N}+\frac{1}{\log_{4}N}+\ldots+\frac{1}{\log_{100}N}$

Para todos aquellos que no pueden con la adicción

2007-09-06T19:22:00.001-07:00

10. Demuestra que todo entero positivo tiene un múltiplo cuyos únicos dígitos son el 7 y el 0.

¿Qué cosa tan más curiosa, no lo creen?

D-J-N: In memoriam

2007-08-22T17:46:00.002-07:00

9. En cada punto reticular del plano hay un número positivo. Cada uno de estos números es igual al promedio de los números que aparecen en los 4 puntos reticulares más cercanos a él. Muestre que todos los números en la retícula son iguales.

Estamos de regreso

2007-08-18T07:31:00.001-07:00

El reto para hoy es:

8. "Tenía n años en el año n²" -dijo Smith en 1971. ¿Se puede deducir de esto el año en que Smith nació?

Su entusiasmo es lo único que puede ayudar al REfeTOfo a salir del letargo en que ha caido.

1/2 vs 1/3

2007-07-13T01:02:00.000-07:00

7. Sean a y b dos números naturales con máximo común divisor igual a 1. Demuestre que la representación decimal de la fraccción a/b o termina o es periódica. ¿Podrá el lector dar con una cota para el tamaño del período de a/b en términos de a o de b?

Uno de prestidigitación

2007-07-07T12:59:00.001-07:00

6. Encuentre el promedio de todos los números n sen n° donde n ∈ {2, 4, 6, ..., 180}.

Sólo Veracruz es bello

2007-06-20T15:21:00.003-07:00

Les dejo ahora un retillo que mi buen amigo Iván me acaba de hacer llegar. La primera persona que lo resuelva recibirá a vuelta de correo una bonita sorpresa, cortesía del webmaster de EfeL REfeTOfo. La promoción es limitada (válida hasta el día 23 del presente mes) y por ello urge que todos ustedes pongan manos a la obra cuanto antes. El problema es:

5. Denotemos con m ⊗ n a la suma de todos los enteros desde m hasta n. Encuentre todas las parejas de enteros positivos a y b que satisfacen las dos condiciones siguientes: a+b= 2007 y a ⊗ b es divisible entre 2007.

Y ahora, uno del tipo 1/2.

2007-06-14T20:56:00.000-07:00

4. Suponga que las longitudes de los lados de un triángulo son números racionales. Pruebe que el coseno de cada ángulo es un número racional.

3.

2007-06-01T06:04:00.004-07:00

Finalmente, el tan esperado problema 3. Por favor, no dejen de intentarle:

¿Cuál es el valor de la suma 1/3 + 1/9 + 2/27 + 3/81 + 5/243 ...?

INDICACIÓN: Sumar la serie geométrica es tedioso. Hállese una manera breve de proceder.

Un aviso de que la cosa va en serio

2007-05-21T22:15:00.000-07:00

2. Pruebe que los puntos a, b y c son vértices de un triángulo equilátero si y sólo si satisfacen la igualdad

a² + b² + c² = ab + bc + ca.

En el principio fue...

2007-05-18T01:13:00.002-07:00

Bueno, he aquí el primer retito.

Demuestre que no existe ningún triángulo equilátero en el plano cuyos 3 vértices sean puntos de coordenadas enteras.

Las propuestas de solución se aceptan desde ya. Entre todas las que se reciban se elegirá sólo una para ser publicada.

¡BIENVENIDOS A MI BITÁCORA!

2007-05-17T12:20:00.004-07:00

Sean todos ustedes bienvenidos a mi Bitácora. La idea que se tiene aquí es divulgar problemas y soluciones interesantes en Matemáticas.

Las soluciones publicadas son precisamente las que los lectores nos hacen llegar. Los problemas son, o propuestas originales, o bien problemas que se consideran no muy conocidos por el público en general. Por supuesto, la subjetividad en la clasificación en ocasiones nos llegará a vencer, pero jamás dejaremos de esforzarnos por mantenerla fuera de la jugada.

Espero que la propuesta sea de su agrado. De serlo, se agradecen de antemano todas las contribuciones de solución (o problemas novedosos) que puedan hacernos llegar.

No dejen de sintonizarnos.