√2 unplugged

La irracionalidad de √2 puede establecerse de distintas maneras. A continuación presentamos una breve recopilación de demostraciones de este hecho.

1. De acuerdo con algunos autores, la primera demostración del resultado pudo haberse dado en el seno de la Escuela Pitágorica a mediados del siglo V a.C.. Se piensa que esa demostración, puesta en términos modernos, estaba estructurada (aproximadamente) de la siguiente manera:

Supongamos que √2 es un número racional. Entonces, √2 = a/b, donde a y b son números enteros. Se puede suponer además que a y b son coprimos, esto es, que no tienen divisores en común aparte del 1. Se tiene entonces que a = √2b y por lo tanto a²= 2b². Esto indica que 2 divide a a². Como un producto de dos números impares es otro número impar, se deduce de la afirmación anterior que a debe ser par. Luego, a = 2k para algún número entero k y, en consecuencia, 4k² = a² = 2b². De la cadena previa de igualdades se sigue que 2k² = b². Por consiguiente, b² es divisible por 2 y, como se vio antes, esto implica que b también debe ser divisible entre 2.

Tenemos entonces que a y b tienen al 2 como divisor común; esto contradice la supuesta coprimalidad de a y b y la prueba concluye.

2. En una línea cercana a la de la demostración anterior tenemos al siguiente argumento del matemático argentino Enzo R. Gentile.

Sean m y n dos números enteros cualesquiera. Trabajando módulo 3 podemos verificar fácilmente que la expresión m² + n² es divisible entre 3 si y sólo si tanto m como n son divisibles entre 3.

Supongamos entonces que √2 es racional y que √2 = a/b donde a y b son números enteros y coprimos. Al elevar al cuadrado ambos lados de la igualdad anterior se obtiene que 2 = a²/b², de donde se sigue que a² = 2b². Si sumamos b² en ambos miembros de la igualdad previa se llega a que a² + b² = 3b². Esto indica que la expresión a² + b² es divisible entre 3; la observación hecha en el párrafo anterior nos permite concluir entonces que 3 es divisor común de a y b.

Esto contradice el supuesto de que a y b no tenían divisores en común mayores que 1 y la demostración concluye.

3. Dejamos ahora el terreno de lo clásico para discutir una demostración publicada hace unas cuantas décadas. En 1975, el matemático alemán T. Estermann publicó en The Mathematical Gazette la demostración que presentamos a continuación.

Procedemos nuevamente por reducción al absurdo. Supongamos que √2 es racional. Existe en tal caso un número entero positivo mínimo k con la propiedad de que k√2 es un número entero. Por otra parte, sabemos que 1 < √2 < 2 y por lo tanto k < k√2 < 2k. Luego, K = (√2-1)k es un número entero positivo menor que k. Puesto que

K√2 = (√2-1)k√2 = 2k - k√2

es un número entero positivo, hemos llegado a una contradicción con la minimalidad de k. Así, la suposición de que √2 es racional no puede ser cierta y la irracionalidad de √2 se sigue.

4. Las siguientes dos pruebas dependen de resultados conocidos del álgebra. Las hemos puesto en un mismo apartado pues la idea básica de las demostraciones es la misma, pero la manera de alcanzar la conclusión es ligeramente distinta en cada caso.

- Prueba α. Consideremos el polinomio p(x) = x² - 2. El teorema de ceros racionales indica que si r/s es un cero racional de p(x) entonces r debe ser un divisor de 2 y s un divisor de 1. Por tanto, las posibilidades para ceros racionales de p(x) son 2, -2, 1 y -1. Así, si √2 fuera un número racional, la observación de que p(√2) = 0 implicaría de inmediato que √2 = 2 ó √2 = 1. La aseveración anterior es claramente absurda y de ahí que √2 no sea racional.

- Prueba β. Del criterio de Eisenstein se sigue que el polinomio p(x) = x² - 2 es irreducible en Q[x]. Supongamos ahora que √2 es racional. Esto implica de inmediato que p(x) = x² - 2 = (x - √2)(x + √2) es reducible en Q[x]. Lo anterior entra en contradicción con lo aseverado en la primera oración de esta prueba y de ahí la irracionalidad de √2.

5. Supongamos que √2 es igual al número racional a/b. Al elevar al cuadrado ambos lados de la igualdad √2 = a/b y despejar a² se llega a que a² = 2b². Ahora bien, al fijarnos en la descomposición en números primos del número n = a² = 2b² se tiene por un lado que el exponente del 2 en la descomposición de n es un número par y por el otro lado que dicho exponente es un número impar. Esto entra en contradicción con la unicidad garantizada por el Teorema Fundamental de la Aritmética y de ahí el resultado.

6. Tenemos ahora la última prueba de la antología. Se trata nuevamente de un elegante argumento por reductio.

Supongamos que √2 es racional. Digamos que √2 = a/b, donde a y b son números enteros. Al elevar al cuadrado ambos miembros de la igualdad anterior se obtiene 2 = a²/b², de donde se desprende que a² = 2b².

El anhelado absurdo se alcanza en este caso del modo siguiente. La representación binaria del cuadrado de un número entero termina siempre en un número par de ceros. Esto implica que al reescribir la igualdad a² = 2b² en binario, el lado izquierdo terminará con un número par de ceros y el lado derecho en un número impar, pues la multiplicación por 2 estará agregando un cero más al final de la representación binaria de b². Se sigue así que √2 no puede ser un número racional y la prueba termina.

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Todas las demostraciones presentadas son por reducción al absurdo. La relectura de la apología de Hardy es inevitable en este momento:


"La reducción al absurdo, que Euclides tanto venerara, es una de las armas más finas del matemático. Es mucho mejor gambito que cualquiera de los del ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un peón u otra pieza, pero un matemático ofrece la partida entera..."

Ojalá que la entrada sea de su agrado. ¡Hasta pronto!