Escribo con la única intención de compartirles la solución más sucinta que conozco para aquel bonito problema que solicita determinar cuál de los dos números $\pi^{e}$ o $e^{\pi}$ es más grande. Esta solución se debe a B. Chakraborty y la vi por vez primera en el portal de The Mathematical Intelligencer a finales del año pasado. Resulta que $\pi^{e}< e^{\pi}$ y Chakraborty, en su prueba, esencialmente apela sólo a la representación integral del logaritmo natural: en efecto, como $$ \ln \pi - \ln e = \int_{e}^{\pi} \frac{1}{t} \, dt < \frac{1}{e}(\pi - e) = \frac{\pi}{e} - 1$$ el aserto se sigue.
En mi opinión, este ataque es más directo y fácil de reproducir que el que Martin Gardner brevemente comentara en la entrega de septiembre de 1979 de su columna en Scientific American y el cual se basa en el análisis del valor máximo de la función $f \colon (0,\infty) \to \mathbb{R}$ cuya regla de correspondencia es $x \overset{f}{\mapsto} x^{1/x}$.
Aunque tenía la intención de publicar esta entrada en la octava del Día de $\pi$, algunas cuestiones de burocracia que surgieron en estos días me impidieron concretar tal anhelo; a pesar de ello y demás falencias, espero que la entrada sea de su agrado.
¡Hasta pronto!
