jueves, 13 de marzo de 2014

Unas palabras en torno al conjunto de todos los conjuntos

Básicamente un par de datos que quisiera preservar para futuras referencias:

I. Si se acepta la existencia del conjunto $\mathbf{U}$ de todos los conjuntos entonces del axioma de separación (t.c.c. Aussonderungsaxiom o esquema de compresión) se sigue que tendría sentido hablar también del conjunto $\mathbf{E}:=\{x \in \mathbf{U}: x \notin x\}$. ¡Y es precisamente este conjunto $\mathbf{E}$ el que origina las situaciones raras que (históricamente) motivaron la revisión del tratamiento intuitivo de la teoría de conjuntos! Específicamente, $\mathbf{E}$ es un conjunto tal que no es posible decidir si pertenece o no a sí mismo. Por un lado, $\mathbf{E}$ no puede ser elemento de sí mismo porque la propiedad que cumplen los elementos de $\mathbf{E}$ es la de no ser elementos de sí mismos. Por otra parte, si $\mathbf{E}$ no es elemento de sí mismo entonces $\mathbf{E}$ satisface la propiedad que define a sus elementos y por lo tanto debería ser el caso que $\mathbf{E} \in \mathbf{E}$...

II. Otra manera de caer en la cuenta de los detalles que surgen al aceptar la noción del conjunto de todos los conjuntos es como sigue (el argumento lo aprendí hace algún tiempo de Andrés Caicedo en MSE). Cantor probó mediante su método diagonal un resultado clásico que asegura que no es posible dar una función suprayectiva entre un conjunto $\mathrm{X}$ y su conjunto potencia ($2^{\mathrm{X}}, \mathcal{P}(\mathrm{X})$, etc.: cada quien que siga la notación que más sea de su agrado, de gustibus non est disputandum). Así, si $\mathbf{U}$ denota, como en el párrafo anterior, al conjunto de todos los conjuntos entonces se tiene por una parte que $\mathbf{U}=2^{\mathbf{U}}$; por otra parte, esta igualdad indica que la función $f: \mathbf{U} \to 2^{\mathbf{U}}$ dada por $t \mapsto t$ es suprayectiva. ¡Contradicción!

Claramente, podríamos seguir con los debrayes sobre estas cuestiones pero prefiero retomarles en otro momento. El tema de los conjuntos es medular en matemáticas. Soy de la opinión incluso de que sobre la noción de conjunto (en matemáticas) se podría decir también lo que Borges apuntara sobre el infinito en La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga: "... [es una] palabra (y después concepto) de zozobra que hemos engendrado con temeridad y que una vez consentida en un pensamiento, estalla y lo mata".

Auf wiedersehen!