jueves, 13 de marzo de 2014

Unas palabras en torno al conjunto de todos los conjuntos

Básicamente un par de datos que quisiera preservar para futuras referencias:

I. Si se acepta la existencia del conjunto $\mathbf{U}$ de todos los conjuntos entonces del axioma de separación (t.c.c. Aussonderungsaxiom o esquema de compresión) se sigue que tendría sentido hablar también del conjunto $\mathbf{E}:=\{x \in \mathbf{U}: x \notin x\}$. ¡Y es precisamente este conjunto $\mathbf{E}$ el que origina las situaciones raras que (históricamente) motivaron la revisión del tratamiento intuitivo de la teoría de conjuntos! Específicamente, $\mathbf{E}$ es un conjunto tal que no es posible decidir si pertenece o no a sí mismo. Por un lado, $\mathbf{E}$ no puede ser elemento de sí mismo porque la propiedad que cumplen los elementos de $\mathbf{E}$ es la de no ser elementos de sí mismos. Por otra parte, si $\mathbf{E}$ no es elemento de sí mismo entonces $\mathbf{E}$ satisface la propiedad que define a sus elementos y por lo tanto debería ser el caso que $\mathbf{E} \in \mathbf{E}$...

II. Otra manera de caer en la cuenta de los detalles que surgen al aceptar la noción del conjunto de todos los conjuntos es como sigue (el argumento lo aprendí hace algún tiempo de Andrés Caicedo en MSE). Cantor probó mediante su método diagonal un resultado clásico que asegura que no es posible dar una función suprayectiva entre un conjunto $\mathrm{X}$ y su conjunto potencia ($2^{\mathrm{X}}, \mathcal{P}(\mathrm{X})$, etc.: cada quien que siga la notación que más sea de su agrado, de gustibus non est disputandum). Así, si $\mathbf{U}$ denota, como en el párrafo anterior, al conjunto de todos los conjuntos entonces se tiene por una parte que $\mathbf{U}=2^{\mathbf{U}}$; por otra parte, esta igualdad indica que la función $f: \mathbf{U} \to 2^{\mathbf{U}}$ dada por $t \mapsto t$ es suprayectiva. ¡Contradicción!

Claramente, podríamos seguir con los debrayes sobre estas cuestiones pero prefiero retomarles en otro momento. El tema de los conjuntos es medular en matemáticas. Soy de la opinión incluso de que sobre la noción de conjunto (en matemáticas) se podría decir también lo que Borges apuntara sobre el infinito en La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga: "... [es una] palabra (y después concepto) de zozobra que hemos engendrado con temeridad y que una vez consentida en un pensamiento, estalla y lo mata".

Auf wiedersehen!

9 comentarios:

Octavio Agustin dijo...

1. No sabía que estabas peleado con la "suprayectividad", mi hermano. (http://lema.rae.es/drae/?val=supra)

2. Creo sinceramente que el último punto y coma de II debió ser un punto final, para eliminar lo que quedase después hasta el "Claramente" (y habría que hacer otros ajustes misceláneos a la prosa, por supuesto).

3. ¿Y qué opinas de la versión "constructiva" de I? Tiene, en mi opinión, un delicioso parecido con el asunto euclidiano de la infinitud de los primos.

J. H. S. dijo...

1. No lo estoy, hermanazo. Lo que sucede es que no sabía que el término oficial fuese "suprayectividad". Me gustaba más decir "sobreyectividad". :(

2. Quizás lleves la razón, Octavio. Pero preferiría retener esa parte, pensando principalmente en aquellos días en los que absolutamente todo es oscuro.

3. No me queda muy claro a que te refieres con 'la versión "constructiva" de I'. Sin embargo, tal vez valdría la pena recordar que una consecuencia directa de los axiomas en ZFC (o al menos en las presentaciones de ZFC que recuerdo) es que NINGÚN conjunto no vacío es elemento de sí mismo...

Saludos y gracias por dejar tus comentarios, mi amigo.

quique ruiz dijo...

Yo me pregunté lo mismo: ¿cuál es la versión constructiva?
También se las suele llamar "sobre", a secas, ¿no?

Octavio Agustin dijo...

@JHS,@QR: Vale la pena echar un ojo a

The "no self-defeating object" argument, revisited;

en particular a la Proposición 4' y la discusión subsecuente.

@QR: Espero no caer en la acrimonia (no es mi intención) al señalar que también podríamos llamarles funciones "encimosas", o "encimoyectivas", o como se nos viniera en gana. A JHS le pregunto por la idiosincrasia particular que tiene, que me dificulta distinguir si lo hace a propósito. En todo caso, es pura curiosidad. Siempre he sido enunciativo y nunca normativo (para esto último está la RAE), y ahora refrendo esa postura.

J. H. S. dijo...

Gracias por el enlace, Octavio.

Ahora me queda un poco más claro tu comentario #3. Concuerdo en que el asunto es un tanto parecido al de la prueba de Euclides de la infinitud del conjunto de los números primos. Sin embargo, no me parece que la prueba de la proposición 4' de Tao pueda calificarse como "constructiva": dado un conjunto arbitrario A, ¿qué tan factible sería determinar de manera explícita todos los elementos de A que no son elementos de sí mismos? Recordemos, para empezar, que la relación "ser un elemento de" es una de las nociones primitivas en la teoría de conjuntos y que por lo tanto podría haber significados diferentes para dicha noción según se esté en un modelo de la teoría u otro.

Saludos.

Octavio Agustin dijo...

Ciertamente, mi hermano.

Por eso la puse entre paréntesis. Eso no me hace menos hereje ante los ojos de Zeilberger, ¿verdad? :D

Pienso también que el único punto de partida concreto es el vacío, de suerte que la iteración dada por el axioma del par no nos permite obtener un conjunto de todos los conjuntos (y esto sí se puede verificar de manera algorítmica). En otras palabras: alguien proclama que ha construído todos los conjuntos que son "finitamente constructibles" con los primeros cuatro o cinco axiomas de ZF, pero sabemos que es falso porque podemos construir otro (de modo finito) que no está en esa lista. Esto es lo que dice Tao al final de su debraye y es lo constructivo que se puede salvar del asunto, en mi opinión.

Octavio Agustin dijo...

Perdón: dije "entre paréntesis" cuando quise decir "entre comillas". :p

David FernándezBretón dijo...

¿Has oído hablar de NF (que significa "New Foundations")? Es una muy coqueta manera de evitar la paradoja de Russell, manteniendo la existencia del conjunto de todos los conjuntos. Sin embargo tiene sus desventajas, principalmente que hay que tener mucho cuidado antes de utilizar el axioma de especificación. Y se pone interesante cuando resulta que hay que distinguir entre conjuntos "Cantorianos" (que son los que satisfacen lo que mencionas en el punto #2) y los "no Cantorianos" (¡que son equipotentes a su potencia!).

J. H. S. dijo...

@David:

Muchas gracias por dejar tus comentarios, cuate...

Cordialmente,

J. H. S.