martes, 14 de marzo de 2023

Un producto infinito para la constante de Ludolph van Ceulen

Consideremos el producto infinito $$ \left(1- \frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}-\cdots\right) \left(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^{2}}+\cdots\right) \left(1-\frac{1}{7}+\frac{1}{7^{2}}-\cdots\right)\cdots$$ Dentro de un par de paréntesis hay alternancia de signos si y sólo el número primo que lidera a los paréntesis respectivos es congruente con $-1$ módulo $4$. Al considerar el producto de los primeros $n$ factores de ese producto infinito, los términos que se obtienen son de la forma $$ \pm \frac{1}{p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{n}^{e_{n}}} $$ donde $p_{1}, \ldots, p_{n}$ son los primeros $n$ números primos impares y $e_{1}, \ldots, e_{n}$ son números enteros no negativos. El signo de un término dado es negativo si y sólo si la suma de los exponentes de los primos congruentes con $-1$ módulo $4$ que aparecen en la expresión $p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{n}^{e_{n}}$ es un número impar. Puesto que todo número entero positivo $N>1$ se puede expresar como un producto de potencias de números primos de manera única (salvo el orden de las potencias), al desarrollar el producto infinito aparecerán como denominadores todos los números impares exactamente una vez. Tenemos así que \begin{eqnarray*}\left(1- \frac{1}{3}+\cdots\right) \left(1+\frac{1}{5}+\cdots\right)\left(1-\frac{1}{7}+\cdots\right) \cdots &=& 1- \frac{1}{3}+\\ && \frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots \end{eqnarray*} Luego, en vista de que $$ 1-\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{2}} - \cdots = \frac{p}{p+1},$$ $$ 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{2}} + \cdots = \frac{p}{p-1}$$ y $$ 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{15}+\cdots = \frac{\pi}{4},$$ se concluye que \begin{eqnarray*}\frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdots \end{eqnarray*} La identidad es fácil de recordar pues, en la derecha, los numeradores son todos los números primos impares listados en su orden natural mientras que el denominador del primo $p$ es igual a $p+1$ cuando $p \equiv -1 \pmod{4}$ e igual a $p-1$ cuando $p \equiv 1 \pmod{4}$.

NOTA. La primera vez que vi este producto infinito para $\pi$ fue en las páginas del libro Alberto Barajas: su oratoria, sus matemáticas y sus enseñanzas (SMM & IMATE UNAM, 2010); no obstante, recuerdo haberlo encontrado después en algún otro texto de teoría de números. Espero volver a dar con esa obra más adelante; por ahora sólo me queda reiterarles mis mejores deseos (atrasados) por el Día de Pi 2023... ¡Hasta la próxima!

miércoles, 1 de marzo de 2023

Some excerpts from V. I. Arnold's "Yesterday and long ago" on the origins of mathematics

«Nowadays we tend to underestimate the knowledge of the ancients, especially of scientists before the ancient Greeks. For more than a hundred years historians have known about the facts I'll discuss below, but about which mathematicians have never heard.

Thousands of years ago (before Moses), a remarkable mathematician who made a lot of discoveries lived in Egypt. He was a land surveyor (he measured land--from this follows the word "geometry"). He is known as Thot, the name which he got after his death (Thot is the name of the God who carried the souls of the dead in a boat across the Lethe river in ancient Egypt).

His first discovery was the natural series: Thot understood that there is no maximal integer (before him the numbers were bounded by the tax payed to Pharaoh). He learned how to carry out proofs based on the existence of actual infinity. His second discovery is not a mathematical one: it was the first phonetic alphabet. Before there were only hieroglyphics in Egypt, and he decreased the number of symbols to several dozen, having realized that, for example, the sound d could be represented by a simplification of the hieroglyph which mean "dog".

In Plato's "Phaedrus", Ammon (the main Egyptian God) discusses with Thot the creation of this alphabet. Thot says that the ability to write down information makes people cleverer, because there is no need to remember everything. Ammon objects that it is "the other way around, they will be more stupid because by relying on their notes they would lose the habit of remembering". They did not discuss computerization yet.

The Jewish and Phoenician alphabets originate from Thot's alphabet. From the Phoenician alphabet comes the Greek one; and later from that the Latin alphabet and only then our Cyrillic version.

The next discovery of Thot is geometry. To measure plots of land in order to estimate an expected crop, the tax it would yield, and how much water for irrigation was required from the Nile, Thot invented axioms, definitions, theorems, and drawings. The only thing he did not care about was the independence of his axioms and, as a result, he did not reach the modern level. For example, instead of one axiom on parallels, he introduced four or five axioms (each of them actually yield the others). But Thot did not prove this, he just used all of them. The honor to choose one (the fifth postulate) and to convert the others into theorems belongs to Euclid.

The measurements of the Earth's radius is among the remarkable geometrical achievements of that time (which belongs either to Thot himself or to his students). Camel caravans walked from Thebes to Memphis along a meridian, and it was not difficult to count their steps (and hence the total distance). They also measured the difference in altitude of the Sun at noon on the same day at these two Egyptian cities. With this information it is easy to calculate the radius of the Earth. It is remarkable that the relative error in this result had been only 1% (as compared with the modern value).

Greek scientists did not trust the Egyptian data claiming that the Egyptian women were publicly prostituting with crocodiles (as it [has also been] mentioned in the book "De la célébration du dimanche" of Proudhon, 1870, Paris). And thus two hundred years later the Greeks decided to measure the radius again. A ship sailed north from the mouth of the Nile to the island Rhodes. To calculate the distance they multiplied "the speed of the ship driven by a wind of an average force" with the time taken by this voyage. They obtained a radius which was two times larger than the correct one (it is easier to count camel's steps than to estimate whether the force of wind is average).

It is interesting that many centuries later a captain from Genoa came to a Catholic Queen asking for permission to sail to India by a western route (instead of the eastern one followed later by Vasco da Gama). The Queen appointed a committee of experts who said that "for such a long distance it is not possible to build a ship capable of carrying sufficient water for survival". Thus the Queen refused permission for this expedition.

But the captain persisted, and after many discussions with experts he got permission to die of thirst. (It is said that the reason for their incorrect conclusion was that the experts trusted the Greek estimate of the Earth's radius, while the captain believed in the Egyptian one.) That is how, just by chance, America was discovered.

Thot founded celestial mechanics and astrology in Egypt. If not he himself, then his ancient followers, knew the law of inverse squares (for a planets' attraction to the Sun) and Kepler's laws of planetary motion. This knowledge disappeared in the destruction of Alexandria's library by fire, where all scientific records of ancient Egypt were kept. Newton wrote that he only restored this ancient knowledge (cf. "Unknown Newton". St. Petersburg, Aleteia, 1999, pp. 731-757)...

Pythagoras was actually one of the first industrial spies in the world. He lived in Egypt for about twenty years, where Egyptian priests taught him their science. He had to take an oath never to reveal this knowledge, and that is why he did not publish anything.

Returning to Greece he told his students about geometry, and they brought this to Euclid who had not taken an oath. So it was that he published the geometry of Thot. Besides from geometry, Pythagoras brought from Egypt the idea of reincarnation (independent of the Indian version), vegetarianism based on it, and the basics of musical harmony for stringed instruments (including the formula for the tension of strings with various lengths, which have the same frequency--the required tension is proportional to the square of the length; the conditions for an octave, a third, a fifth, ...--actually, the Fourier series)...

There were other "spies" who, like Pythagoras, brought Egyptian secrets to Europe: Plato (logic and philosophy), Eudoxus (number theory [up to] Euclid's algorithm and the theory of irrational numbers including the theory of Dedekind's [cuts] and Grothendieck's rings).

The theory of irrational numbers started from the discovery of incommensurability of the diagonal of a square with its side (that is, the irrationality of √2) which was kept as a secret in the Pythagorean school. The point is that this fact undermined the importance of the arithmetical theory of fractions (and in this way of all mathematics): fractions were not sufficient for day-to-day requirements (such as measurement of lengths). Consequently, mathematicians were afraid that they would be accused of creating nonsense, and that they would be discarded or, at least, not be fed.

Thus it was necessary to create a new science--the theory of real numbers. This task (which is not simple, by the way) was solved by Eudoxus. It is surprising how close his approach is to the modern one (in this matter and also in the ... theory of divisibility). The discovery that facts like the uniqueness of expansion of an integer into prime factors require proof, is actually not less important than the proof itself, which is also not evident at all.»

viernes, 4 de noviembre de 2022

Apropos of negative reviews

«André Weil, spiritual leader of the IAS for many years, set a high standard. In 1973, Associate Professor Michael S. Mahoney of the History of Science Department at Princeton University had the temerity (or perhaps the bad luck) to write a biography of Pierre de Fermat (1601-1665). At that time, Weil had been studying the history of Fermat for some time. He had given a lecture series on the subject. The depth of his understanding was uncanny: Weil had actually figured out sequences of letters that had been sent, on what dates they were mailed and had arrived, and who was thinking what when. He fancied himself to be the pre-eminent Fermat scholar. And the new biography by his colleague down the road did not strike his fancy. Somehow it was arranged for Weil to review the book for the Bulletin of the AMS. Weil begins the published review by reminding us that "In order to write even a tolerably good book about Fermat, a modicum of abilities is required." He then lists these prerequisites:

  • Ordinary accuracy.
  • The ability to express simple ideas in plain English.
  • Some knowledge of French.
  • Some knowledge of Latin.
  • Some historical sense.
  • Some familiarity with the work of Fermat's contemporaries and of Fermat's own mathematics.
  • Knowledge of and sensitivity to mathematics.

André Weil then proceeds to consider each of these attributes one by one, and to demostrate--via annotated quotations from the book under review--that the author apparently possesses none of them.»

Steven G. Krantz, Mathematical apocrypha: stories and anecdotes of mathematicians and the mathematical. Published and distributed by the Mathematical Association of America, USA, 2002, pp. 51-52.

jueves, 27 de octubre de 2022

The "Verfasser" anecdote in Derbyshire's book on the prime obsession

«I don't think Landau's Handbuch has ever been translated into English. Number theorist Hugh L. Montgomery ... taught himself German by reading his way through the Handbuch, one finger on the dictionary. He tells the following story. The first 50-odd pages of the book are given over to a historical survey, in sections each of which is headed with the name of a great mathematician who made contributions in the field: Euclid, Legendre, Dirichlet, and so on. The last four of these sections are headed "Hadamard," "von Mangoldt," "de la Vallée Poussin," "Verfasser." Hugh was extremely impressed with the contributions of Verfasser, but was puzzled to know why he had not heard the name of this fine mathematician before. It was some time before he learned that "Verfasser" is a German word meaning "author" (ordinary nouns are capitalized in German).»

J. Derbyshire, Prime obsession: B. Riemann and the greatest unsolved problem in mathematics. Published by Plume (a member of Penguin Group), USA, 2003, pp. 231-232.

jueves, 16 de diciembre de 2021

On Dirichlet's attitude toward teaching

"Looking back on my activity at the University of Berlin, I can give myself the attestation that during the twenty-seven years of my teaching there I never allowed myself to fail in the highest effort of which I was capable to facilitate your entrance to the glorious, unmeasurably growing, world of scholarship to which all my powers are dedicated..." --- P. G. L. Dirichlet (c. 1855)

It is with this quote that Robin Wilson's review of Uta C. Merzbach's "Dirichlet: a mathematical biography" ends. This review appeared on pages 84-86 of the December 2020 issue of The Mathematical Intelligencer.

I'll catch up with you later!

lunes, 13 de septiembre de 2021

Un ensayo de Rafael Dieste


Breve noticia y comentario

§ 1. El postulado de Euclides y su equivalente: el postulado de la semejanza. "Si una recta que corta a otras dos forma con ellas y hacia el mismo lado dos ángulos internos cuya suma es menor que dos rectos, las dos rectas se encuentran en su prolongación del lado en que la suma es menor que dos rectos". Tal es (en versión del Prof. Francisco Vera) el famoso postulado V de Euclides, que tanto ha dado que hacer a geómetras y filósofos desde hace más de veinte siglos.

Esta proposición nunca parece haber tenido, ni aun para el mismo Euclides, ese carácter de evidencia inmediata y de premisa irreductible que se demanda de un axioma, en el sentido clásico de esta palabra. Lo primero que sorprendió fue tal vez su complejidad. De ahí el recurso de Posidonio (unos 100 años a. de C.): llamar paralelas, no como Euclides, más prudente, a dos rectas que dadas en un plano no se cortan, sino, resueltamente, a dos rectas equidistantes. Bajo el disfraz de una definición lo que así se postula es la existencia de rectas equidistantes. En seguida será muy sencillo demostrar el postulado V... Pero he aquí que el postulado V es, a su vez, la premisa perfecta para demostrar esa equidistancia.

Proclo (410 - 485) que nos da esta noticia, acude por su parte a un recurso sin duda menos candoroso que el de Posidonio, pero no más feliz. Supóngase dos rectas $AB$ y $CD$ que no se cortan.

Puesto que la distancia entre ellas es finita, una tercera recta $EG$ que corte en $F$ a la primera, tendrá que cortar a la segunda, ya que un punto móvil sobre el rayo $FG$, se alejará indefinidamente de $FB$ a medida que se aleje de $F$.

Demostrado así el postulado V de Euclides, podrá en seguida demostrarse que la distancia antes propuesta como finita es, además, constante... Es sólo un rodeo para tomar descuidado al toro. Pero no hay que negar por esto su valor. Tales rodeos son los que a la larga han servido para hacer cada vez más transparente la significación del problema, y más inequívoco su planteamiento. Se trata de una larga historia, de una tenaz batalla sin estruendo, pero no por eso menos dramática o imponente que otras más ostensibles. No intentamos hacer aquí ni aun el esquema de esa historia, sino indicar sólo algunos de sus pasos, los más decisivos y, al mismo tiempo, en más directa relación con el norte y estilo de este ensayo.

Es ante todo inexcusable referirse al filósofo y geómetra inglés John Wallis (1616 - 1703), a quien se debe el único postulado que puede competir en diafanidad noética con el postulado V de Euclides: "De toda figura existe siempre una semejante a ella de magnitud arbitraria". Es el llamado postulado de la semejanza. Leibniz (1646 - 1716) nos dirá que si descontada la diferencia de extensión, así como la diversa posición, no se discierne diferencia entre dos figuras, es que son semejantes, que tienen igual forma. (Y ya sabemos que en Leibniz lo discernible no se limita a ser lo distinguible empíricamente). Laplace (1749 - 1827) y Lazare Carnot (1753 - 1823) sustentarán siglo y medio más tarde el mismo supuesto: que el concepto de semejanza, para Carnot tan inmediato, aproximadamente, como el de congruencia o igualdad, no sólo sirve para demostrar el postulado V, sino que le aventaja en sencillez, en naturalidad apriorística, en valor axiomático.

He aquí brevemente el razonamiento de Wallis para demostrar el postulado V de Euclides a partir de la noción común de semejanza:

Sean $A$ y $B$ los ángulos internos formados respectivamente por dos rectas, $R_{1}$ y $R_{2}$, a un mismo lado de una secante común , y cuya suma suponemos inferior a dos rectos.

Si mediante la traslación de $R_{2}$ disminuímos de un modo continuo la distancia $BA$ (sin variar el ángulo de $R_{2}$ con la recta $AB$), antes de que esa distancia se reduzca a cero, $R_{2}$ tendrá que cortar a $R_{1}$ en algún punto $C$, determinando con la secante común, $AB$, un triángulo. Si luego acrecentamos de nuevo esa distancia (siempre sin variar los ángulos $A$ y $B$), crecerá la magnitud del triángulo, pero cualquiera que sea esa magnitud se mantendrá su semejanza con el inicial, y por lo tanto permanecerá invariable el tercer ángulo. $R_{1}$ y $R_{2}$ no podrán pues dejar de cortarse, cualquiera que sea la distancia $AB$.

Ahora bien, a partir del postulado V de Euclides se demuestra que la suma de los ángulos de un triángulo plano es siempre dos rectos. Es claro, pues, que si dos de los ángulos permanecen invariables, tendrá que permanecer invariable el tercer ángulo. Es decir, del postulado V se infiere la existencia de triángulos semejantes, y de ésta la existencia, en general, de figuras semejantes. Se demuestra, en suma, la misma premisa que Wallis utiliza para demostrar la proposición euclídea.

§ 2. El método de Saccheri y las geometrías no euclidianas. En la primera mitad del siglo XVIII, un genial italiano, el padre Giovanni Gerolamo Saccheri (1667 - 1733), hace el primer intento de demostración sistemática, continuando la tradición del problema, pero con nuevas y coherentes previsiones metódicas para resolverlo, en su famosa obra Euclides ab omni naevo vindicatus..., publicada en Milán en 1733. Dada la mutua dependencia entre el postulado V y la proposición 32 de los Elementos (según la cual la suma de los ángulos interiores de un triángulo es dos rectos), Saccheri intenta demostrar esa proposición por reducción al absurdo.

La figura fundamental de Saccheri es un cuadrilátero $ABDC$, rectángulo en $C$ y $D$, y de lados $AC$ y $BD$ congruentes entre sí (birrectángulo isósceles), respecto a cuyos ángulos $A$ y $B$ (iguales)

cabe hacer tres hipótesis, que él designa respectivamente como hipótesis del ángulo recto ($A=B= 1$ ángulo recto); del ángulo obtuso ($A=B$ > $1$ ángulo recto), y del ángulo agudo ($A=B$ < $1$ ángulo recto).

Saccheri prueba satisfactoriamente que la segunda hipótesis, la del ángulo obtuso, que implica para todo triángulo una suma angular superior a dos rectos, no es compatible con la potencial infinitud de la recta (postulado II de Euclides); o lo que es igual, se apoya implícitamente en este postulado, como más tarde Lambert, Legendre, Lobachevski..., para excluir del plano dicha hipótesis. Prueba asimismo que la tercera hipótesis (que implica para todo triángulo una suma angular inferior a dos rectos) conduce a la admisión de rectas asintóticas, es decir, de rectas que se aproximarían entre sí indefinidamente sin llegar a encontrarse. Y finalmente sustituye de hecho el postulado V por otro que se podría formular así: Si la distancia entre dos rectas disminuye de un modo continuo, esas dos rectas tienen que encontrarse. O en otros términos: No existen rectas asintóticas. Admitido ese postulado, y asimismo el postulado II de Euclides, ya sólo cabe admitir (hip. del ángulo recto), que todo cuadrilátero birrectángulo isósceles es cuadrirrectángulo. De acuerdo con la proposición 32 de Euclides, la suma de los ángulos de un triángulo es entonces dos rectos y, consecuentemente, se cumple el postulado de la semejanza o, lo que es igual, se cumple el postulado V de Euclides.

Análogo al de Saccheri es el método de otro gran geómetra, el suizo Lambert (1728 - 1777). Parte éste de un cuadrilátero trirrectángulo. Hace sobre el cuarto ángulo las tres inevitables hipótesis (que sea recto, obtuso o agudo), y excluída la segunda, pone de manifiesto que admitir la tercera es admitir la medida absoluta de segmentos (en conexión con la medida absoluta de ángulos). Por distinto camino habría de llegar más tarde el tenacísimo y clarísimo Legendre (1752 - 1833) al mismo resultado. Podría formularse así el "postulado" de Legendre: La magnitud de un segmento no puede ser función directa del valor de un ángulo.

Schweikart y Taurinus, contemporáneos de Gauss, suelen reivindicarse como inmediatos precursores de la geometría no euclídea. Pero esto no impide reconocer en Saccheri al más preclaro precursor... involuntario. Con su modo de plantear el problema del paralelismo Saccheri se sitúa de hecho en el origen mismo de las geometrías no euclidianas, en cuanto éstas no hacen sino llevar más adelante la actitud lógica—o si se quiere epistemológica—implícita en la gran tentativa de Saccheri de demostrar por reducción al absurdo el postulado V. Las consecuencias de excluirlo—piensa Saccheri—deben manifestarse como contradictorias. ¿No son contradictorias? Es decir, ¿puede construirse una teoría coherente—no contradictoria—del espacio a partir de su exclusión? Entonces...

Limitémonos por ahora a hacer historia. Sabemos ya que Saccheri no cree compatible con la naturaleza misma de la recta y del plano (se entiende naturaleza geométrica) la existencia de rectas asintóticas. ¿Por qué? Es para él mismo como un misterio claro y desesperante del que no puede dar razón, y que le hace enmudecer de reverencia, aunque quisiera hablar, argumentar. Y he aquí que esas mismas rectas asintóticas—su admisión hipotética—son las que orientan hasta el fin (o por lo menos hasta el fin de su construcción) a un gran geómetra, el ruso Lobachevski (1793 - 1856), para probar que, excluído del plano, el postulado V se cumple en otra superficie, la horisfera... Superficie teórica, pero no más ni menos teórica (entiéndase hipotética o "puramente racional") que el plano euclídeo. Terrible polvorín de cuestiones, vitales (o mortales) para la mente humana, que dejarían en desorden y sin posible conclusión esta Breve noticia, si cometiésemos la inocente imprudencia de tocarlas aquí.

§ 3. La geometría lobachevskiana (o de Gauss-Lobachevski-Bolyai). El siguiente teorema de Lobachevski, con antecedentes en Legendre, nos permitirá ver en seguida, sin vaguedad alguna, todo el alcance de la exclusión del postulado V en la dirección de esta hipótesis: que la suma angular de un triángulo sea inferior a dos rectos (hipótesis de Saccheri del ángulo agudo).

TEOREMA. Una recta que corta perpendicularmente a uno de los lados de un ángulo agudo (cualquiera que éste sea), no cortará al otro si la distancia entre el pie de la perpendicular y el vértice del ángulo es suficientemente grande.

Sea en efecto $CAB$ cualquier ángulo agudo, correspondiente a un triángulo $CAB$, rectángulo en $B$. Si la deficiencia angular de este triángulo (lo que falta a la suma de sus ángulos para valer dos rectos) es $a$, para su duplicación es, el isósceles $CAD$, será de $2a$.Levantemos en $D$ a la recta $AD$, una perpendicular, y sea $E$ el punto en que encuentra a la prolongación de $AC$.

Si la deficiencia correspondiente al triángulo $CDE$ es $z$, la del triángulo rectángulo $ADE$ será $2a+z$. Doble deficiencia corresponderá a su duplicación, el isósceles $AEF$. Así pues, la de un nuevo triángulo $GAF$, rectángulo en $F$, y cuyo vértice $G$ sea un punto de la prolongación de $AE$, será $4a+2z+z^{\prime}$ (si llamamos $z^{\prime}$ a la del triángulo $EFG$). Continuando pues el mismo proceso constructivo, y prescindiendo de los valores indicados con $z$, $z^{\prime}, z^{\prime \prime}$..., tendremos, no obstante ese descuento, una suma angular que crece según la progresión $2a$, $4a$, $8a$, ..., $2^{n}a$. Pero siendo común a todos los triángulos rectángulos así construidos el ángulo invariable $CAB$, el decrecimiento sólo puede afectar al otro agudo, el cual disminuido en $2^{n}a$ sería finalmente, para $n$ bastante grande, un ángulo cero o negativo. No siendo esto posible, alguna de las perpendiculares sucesivas que levantemos en la prolongación de $AB$ no debe ya cortar a la prolongación de $AC$.

Un corolario inmediato es que la perpendicular a la bisectriz de un ángulo, cualquiera que éste sea, puede no cortar a los lados si la distancia entre el pie de la perpendicular y el vértice del ángulo es suficientemente grande. Se sigue, pues, fácilmente, que tres o más tangentes a una circunferencia pueden no cortarse si el radio de tal circunferencia es suficientemente grande, que existen en un plano tantos semiplanos no interferentes como se quiera, etc. De nada vale escandalizarse con los corolarios, ni es lógicamente la actitud más fértil buscar salida a través de su pujante multiplicación.

En la siguiente serie de proposiciones capitales (y aún prescindiendo ahora de su demostración) se advertirá en seguida el potente equilibrio lógico, e incluso arquitéctonico de la concepción lobachevskiana.

1) Sean $C$, $B$, $D$ ($B$ entre $C$ y $D$) tres puntos arbitrarios de una recta $CD$; y $AB$ un segmento perpendicular a $CD$ en el punto $B$. Si $BAL$ es el menor ángulo que puede formar con $BA$ una recta $AL$ que no corte a $CD$, decimos que $AL$ es la paralela a $CD$ por el punto $A$ en el sentido $AL$

(o en sentido $BD$ si suponemos a un mismo lado de $AB$ los ángulos $ABD$ y $BAL$). Pues bien, en la geometría de Lobachevski el ángulo $BAL$—ángulo de paralelismo—es siempre agudo (ya que si en algún caso fuese recto, sería siempre recto, y se cumpliría el postulado V de Euclides); y tanto más agudo cuanto mayor sea la distancia $AB$. Más aún; del teorema precedente se infiere que ese ángulo podrá ser tan pequeño como se quiera si la distancia $AB$ es suficientemente grande.

2) Nótese que si $AL$ es la paralela a $CD$ por el punto $A$ en sentido $AL$, supuesto el ángulo $BAL^{\prime}$ simétrico del $BAL$ respecto al lado común $AB$, tendremos por $A$ una segunda paralela a $CD$ en sentido $AL^{\prime}$ (o lo que es igual en sentido $DC$ o $BC$). Todas las rectas del plano común a $CD$ y $A$ que pasan por $A$, se dividen pues en dos clases: secantes de $CD$ (las comprendidas en el ángulo $LAL^{\prime}$, con exclusión de las rectas $L$ y $L^{\prime}$); y no secantes de $CD$ (todas las demás rectas que pasan por $A$, entre las cuales se incluyen, naturalmente, las dos paralelas, $L$ y $L^{\prime}$, a la recta $CD$ por el punto $A$).

3) Si $AL$ es paralela a $CD$ por el punto $A$ y en sentido $AL$, en tal sentido la distancia entre ambas rectas decrece continua e indefinidamente sin otro límite inaccesible que cero; y crece en cambio continua e indefinidamente en sentido opuesto. (De acuerdo, pues, con Saccheri, las rectas $AL$ y $CD$ son—o serían—asintóticas. En la terminología de Bolyai, $AL$ es asíntota de $CD$, y $CD$ lo es de $AL$; ambas rectas son paralelas asintóticas.)

4) Dos rectas $h$ y $f$, perpendiculares a una tercera, divergen a partir de ésta, en ambos sentidos, continua e ilimitadamente.

5) Toda línea equidistante de una recta en el plano es una curva (hiperciclo) que opone a la recta su concavidad, y cuya curvatura es tanto mayor cuanto mayor sea el parámetro del hiperciclo: su distancia a la recta.

6) El límite de las circunferencias no es la recta, ni puede serlo un hiperciclo, sino una curva límite (horiciclo) de ejes asintóticos (o según la terminología de Lobachevski, paralelos).

7) A ese orden de líneas corresponde un orden de superficies. El hiperciclo es la recta de una hiperesfera (superficie equidistante de un plano). El horiciclo es la recta de la horisfera, límite de una esfera de radio creciente y de una hiperesfera de parámetro creciente.

8) En una hiperesfera, la suma de los ángulos de un triángulo es, como en el plano, menor que dos rectos. Para triángulos de extensión constante, tal suma se aproximará tanto más a dos rectos cuanto mayor sea el parámetro de la hiperesfera (es decir, su distancia al plano del cual equidista). En la horisfera el déficit se anula. Al pasar a la esfera nos hallamos con la inversión del signo. El déficit, a través de cero, pasa a ser exceso, tanto menor, como es sabido (siempre para triángulos de la misma extensión), cuanto mayor sea el radio de la esfera.

9) Puesto que en la horisfera la suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos, en ella se cumple el postulado de Euclides, y el postulado de Wallis: allí sí, habrá triángulos semejantes.

Aunque tal concepción se ha consagrado con el nombre de "lobachevskiana", todos los buenos estudiantes de historia de la geometría saben la gloria que en el proceso o culminación de tan extraordinario descubrimiento lógico cabe principalmente a Gauss, "príncipe de los matemáticos" (1777 - 1855), y al húngaro, oficial del ejército austríaco, János Bolyai (1802 - 1860), hijo y discípulo de otro gran geómetra (Farkas Bolyai) que no pudo apartarle de tan aventuradas investigaciones, si bien fue luego, al ver el fruto, el primero en celebrarlas: ... "Si la cosa está realmente conseguida, conviene darla a la luz pública: primero, porque las ideas pasan fácilmente de uno a otro, que acaso se anticipe a publicarlas, y luego porque hay también mucho de verdad en esto: que muchas cosas tienen una época en la cual son descubiertas a la vez en varios lugares, de igual modo que por la primavera brotan las violetas en todas partes"...

§ 4. Riemann, o la exclusión del paralelismo. Tres hipótesis: tres geometrías. En todas las investigaciones aludidas se había dado siempre por supuesta la no finitud de la recta (o sea, según el postulado II de Euclides, la posibilidad de prolongar ilimitadamente una recta limitada, un segmento de recta). Se partía asimismo (lo uno implica lo otro) de la existencia en el plano de rectas no secantes, ya en cierto modo postulada por Euclides en su definición de paralelas: "rectas de un plano (entiéndase segmentos) que prolongadas por sus dos partes, en ninguna se encuentran".

Riemann (1826 - 1866) es el primero en excluir la existencia en el plano de tales rectas no secantes, al adoptar con todas sus consecuencias la hipótesis del ángulo obtuso, de Saccheri. En su geometría no hay rectas paralelas, ni euclídeas ni lobachevskianas. La recta es cerrada (se excluye así el postulado II); y hay en el plano pares excepcionales de puntos, análogos a los diametralmente opuestos de una esfera, por los cuales no pasa una sola recta (no determinan una recta), sino infinitas rectas.

Llamemos $S$ a la suma de los ángulos de un triángulo. Las tres hipótesis respecto a esa suma se corresponden con tres geometrías: de Euclides ($S=2$ ángulos rectos); de Gauss-Lobachevski-Bolyai ($S$ < $2$ ángulos rectos), y plano esférica de Riemman ($S$ > $2$ ángulos rectos).

Dada la conexión entre las tres hipótesis sobre la suma de los ángulos de un triángulo y las que pueden proponerse a priori sobre el paralelismo, la anterior distinción puede también establecerse así:

I) Si $A$ es en un plano un punto exterior a una recta $\ell$, por ese punto se puede siempre trazar una recta, y una sola, que no encuentre a $\ell$ (Euclides).

II) Se pueden trazar por $A$ infinitas rectas no secantes de $\ell$ (Lobachevski).

III) Por el punto $A$ no pasa recta alguna que no corte a $\ell$ (Riemann).

De más esta decir que adoptar una de las tres hipótesis no es hacerse adversario del que adopte alguna de las otras dos. En el siglo pasado aún se admitía la posibilidad de la comprobación empírica (midiendo los ángulos de un triángulo suficientemente grande). Razones no sólo prácticas, sino epistemológicas, han ido haciendo declinar la fe en ese recurso. Entretanto sabemos que la tercera hipótesis no es hipótesis, sino un hecho cierto y "euclidiano", si la referimos a la superficie esférica, y que asimismo la segunda (dentro de ciertos límites, o sea prescindiendo de aquellos corolarios que sólo tendrían sentido en el plano) se cumple en superficies de curvatura negativa. Así entendidas, no hay gran razón para inquietarse...

§ 5. Comentario. Y sin embargo, la inquietud subsiste. Se sabe muy bien que no se trata de la esfera ni de la seudoesfera, sino del plano, y que es justamente por ser inequívocamente plano el plano por lo que puede alguna vez tener sentido este fértil convenio: llamar plano al espacio, por ejemplo... Se sabe asimismo, más o menos de soslayo, que no hay digno sosiego para la mente si Dianoia y Noesis se mueven guerra en ella, y más aún si es guerra fría, como ahora se dice.

Se construyen modelos tangibles y modelos simbólicos, acompañados de diccionarios para la justa interpretación de las líneas y de sus relaciones, que muestran la conciliación teórica de las tres geometrías, mientras nos mantengamos, diplomáticamente, al margen de la llamada representación intuitiva del plano. Representación intuitiva... No es fácil saber de que se trata, al menos si se sobrentiende que es algo "inferior" y, en cierto modo, hostil a la representación discursiva del mismo plano, es decir, del mismo plano al cual se refiere el discurso. Ciertamente éste, a partir de la crisis de los postulados, puede referirse a tres planos, que se declaran (los tres) hipotéticos y que, en principio, son el mismo plano, ya que él, a ese plano único, se refieren las tres hipótesis que dialécticamente lo diversifican. ¿Cómo puede ser? ¿Es que ese mismo plano se desdice, y la suma angular de sus triángulos es a la vez dos rectos, y mayor o menor que dos rectos? Para la representación intuitiva las consecuencias de suponer que es mayor o menor que dos, entran pronto en discordia con la representación del plano. Fiel (como es lógico) a esa representación inicial, que es además la subsistente, la intuición retrocede, o bien resuelve curvar las rectas elegantemente y sigue adelante, siempre en espera (por exigencias lógicas, de fidelidad a lo previamente dado o mencionado) de que terminen por enderezarse. La epistemología (al menos la vigente) no toma en serio esta esperanza ni aquel retroceso. ¿Cómo se justifica esa indiferencia? Ahí se pasan los límites de la epistemología para entrar en los de un cierto dogmatismo formalista escéptico, que tampoco es seguro que pueda (ni quiera) calificarse de filosofía, y cuyas variantes, escuela y matices no cabe aquí, sin riesgo de injusticia, reducir a esquema. En general se tiende a dar por definitivamente establecido que un postulado o un axioma no es más que una "regla de juego". No tendríamos gran dificultad en concederlo si al decir juego no se entendiese algo movido por la regla, o ya implícito en ella, y sin otro destino que confirmar la interna consecuencia de la regla misma y si, por otra parte, al decir regla se entendiese algo más que convenio previo entre los jugadores. La regla más honda y viva puede ser ignorada, y el que juega de verdad—como un torito en una pradera—no siempre da en creer, por suerte, que eso que hace es puro juego. ¡Si se dijese puro diálogo!...

De un diálogo justamente se trata, se nos dice, un diálogo en el cual, dicha una cosa, ya no hay que desdecirse mientras no se llega al absurdo, el cual sólo consiste en decir lo contrario de lo que se había dicho , y esto como rigurosa consecuencia de lo que se había dicho.

Nada hay que oponer a esto. Es sin duda un gran método (allí donde el sentido de orientación nos haga presentir que es, en efecto, un método) mientras de ahí no se infiera que todo el valor de aquello que se ha empezado por decir reside en la posibilidad de poder seguir diciéndolo indefinidamente. Sin duda eso es parte del valor lógico de una proposición, pero otra parte importante es que sea lógica, lo cual exige que tal proposición no sea soberana de una isla perdida, incomunicada...

¡Todas se comunican! dice de nuevo nuestro interpelante. Y ahí reside exactamente la unidad y hasta la libertad del entendimiento, pues—quiera o no acompañarlo la intuición—puede ir a la isla en que se dice si y (si está bien gobernada) decir si; y luego ir a la isla en que se dice no y decir también no, y esto sin desdecirse, pues lo único que dice es que una isla debe estar bien gobernada. ¿Y el buen gobierno? Simplemente un gobierno consecuente, a partir de convenios bien establecidos, es decir: a partir de axiomas suficientes, compatibles y, a ser posible, no superabundantes. Es ocioso—ingenuo—preguntarse si el plano es plano o esférico. Tan racional es una hipótesis como la otra. Sólo es cuestión de convenir lo uno o lo otro y de formalizar bien el convenio, dándole forma de premisas que nos permitan sustentar sin contradicción lo uno o lo otro. Y como lo uno puede siempre traducirse a lo otro (para eso están los convenios nominales) la no contradicción de lo uno es justamente la garantía de la no contradicción de lo otro...

Aquí aparece algo de auténtico valor: los diccionarios... No, no puede haber inconveniente alguno (es fértil para ciertas investigaciones lógicas, y acaso inexcusable para dar máxima transparencia o agilidad a ciertas disciplinas geométricas) en llamar punto a la recta, recta al plano, plano al espacio..., siempre que no se intente llevar esa transferencia de nombres, y con carácter de criterio, al terreno mismo en que se están queriendo investigar las propiedades irreductiblemente distintivas de lo que se nombra. Y si se dice: No existe lo que se nombra, sino sólo el nombre, se empieza por un postulado asombroso, impropio de la majestuosa modestia de la geometría. Aun cuando sí, podría ser verdad, con un alcance tal vez no deseado por los nominalistas, dándole este otro giro: Lo que se nombra es apenas la sombra del nombre.


CRÉDITOS. Encontré este ensayo en el primer capítulo del Nuevo tratado del paralelismo del poeta Rafael Dieste (dicho libro fue publicado en 1956 por la editorial argentina Atlántida). Aunque tengo conflictos con algunos puntos del ensayo, decidí "subirlo" a la bitácora para futuras referencias. Cabe mencionar que fue a través de un artículo que Letras Libres le publicó a Gabriel Zaid que supe de la pasión de Dieste por la geometría; el artículo lleva por título Problemas archivados y se encuentra disponible en este rincón del portal de la revista.

jueves, 8 de abril de 2021

Five problems: a perfect square trinomial to rule them all


1. Show that there are infinitely many square triangular numbers.

2. Call an integer square-full if each of its prime factors occurs to the second power (at least). Prove that there are infinitely many pairs of consecutive square-fulls.

3. The prime decomposition of different integers $m$ and $n$ involve the same primes. The integers $m+1$ and $n+1$ also have this property. Is the number of such pairs $(m,n)$ finite or infinite?

4. Encuentre el número entero positivo $A$ que satisface $$A^{2} = 4\cdot 2006 + 4\cdot 2004 + 4 \cdot 2002 + \cdots + 4\cdot 4 + 4 \cdot 2 + 1.$$

5. Un entero positivo es bueno si es divisible entre todos sus factores primos al cuadrado. Por ejemplo, el $72$ es bueno ya que sus factores primos son $2$ y $3$ y $72$ es múltiplo de $2^{2}$ y $3^{2}$. Demuestre que hay una infinidad de parejas de números enteros consecutivos buenos.


I encountered these problems in different sources, on different ocassions. Clearly enough, they are not totally unrelated: for instance, the fifth problem is but the translation into Spanish of the second one and the sort of thing that we are asked to establish in all of them, with the exception of the fourth one, is more or less the same. Isn't it fabulous that we can establish each one of them by resorting to the fact that $4n(n+1)+1=(2n+1)^{2}$? (For example, a (beautiful) solution to the first problem goes as follows: if $n$ is a positive integer such that $\frac{n(n+1)}{2}$ is a perfect square, then $\frac{4n(n+1)[4n(n+1)+1]}{2}= 4\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)(2n+1)^{2}$ is both a triangular number and a perfect square; since $1$ is a square triangular number, we are done.) Naturally, this is not to say that it is not desirable or possible to solve them in some other ways: in point of fact, both the first and the second problem can also be settled by considering a suitable Pell equation and the fourth one by determining the prime decomposition of $4(1003)(1004)+1$ (manually or with the aid of WA). The point here is that all of these problems can basically be solved by appealing to the squareness of $4n^{2}+4n+1$... Does any of you know of some other nice problem that can be disposed of by means of this trinomial?


Problem 1: J. L. Pietenpol, A. V. Sylwester, Erwin Just, and R. M. Warten, Amer. Math. Monthly, 69 (Feb. 1962), pp. 168-169.

Problem 2: Donald J. Newman, A problem seminar. Springer Verlag, New York, 1982, p. 8.

Problem 3: You failed your math test, comrade Einstein. M. Shifman (editor). World Scientific, 2005, p. 24.

Problem 4: Problema 4 de la etapa semifinal estatal de la Vigésima Primera Olimpiada Mexicana de Matemáticas, (2007).

Problem 5: Tzaloa: Revista de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, (2013), no. 2, p. 26.

P.s. (April 9th, 2021) I have just noticed that I forgot to include the following problem in the above list: Prove that the equation $x^{2}+y^{2}+1=z^{2}$ has infinitely many integer solutions. Unfortunately, I don't recall at the moment where it was that I picked this one up from...