V. I. Arnold

El reto de esta ocasión pretende fungir como un modesto homenaje a V. I. Arnold (12.06.1937—3.06.2010) quien ha fallecido recientemente. El problema está basado en un curioso ejercicio al que él solía aludir en añoranza de las hazañas de los matemáticos de la vieja escuela.

Específicamente, Arnold solicitaba calcular el límite, cuando $x$ tiende a cero, de la siguiente función

$\displaystyle \frac{\sin (\tan x) - \tan (\sin x)}{\arcsin(\arctan x) - \arctan(\arcsin x)}.$

V. I. Arnold agregaba que un problema así le tomaría no más de unos cuantos minutos a hombres como Barrow, Newton y Huygens pues, a diferencia de los matemáticos de la actualidad, ellos sí sabían calcular. En [1], Arnold mencionaría que Gerd Faltings era, entre los matemáticos que él conocía, la única excepción a esa última afirmación suya.

Al parecer, la historia anterior y el límite mismo son objeto de culto en ciertos círculos matemáticos rusos. La siguiente foto, tomada en la cafetería de la Universidad Independiente de Moscú (cortesía de Parker Glynn-Adey) puede constatar esto que ahora digo.


Procedamos entonces con la develación de la propuesta del momento:

65. Sean $f$ y $g$ dos funciones analíticas reales alrededor del $0$ con $f(0) = g(0) = 0$ y $f^{\prime}(0) = g^{\prime}(0) = 1$. ¿Cuál es el límite de

$\displaystyle \frac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x) - f^{-1}(x)}$

cuando $x$ tiende a $0$?

Espero que el problema sea de su agrado y que contribuya a perpetuar la memoria del Profesor Arnold en la blogósfera.

Referencias

[1] V. I. Arnold. Huygens and Barrow, Newton and Hooke. Birkhäuser Verlag, 1990, pág. 28.