Let $f$ be a nonconstant polynomial with complex coefficients. Since $|f(z)| \to \infty$ as $z \to \infty$, we guarantee the existence of $R>0$ such that $$|f(z)|>|f(0)| \quad \quad (\ast)$$ for every $z \in \mathbb{C} \setminus \mathrm{B}_{R}(0)$.
On the other hand, the continuity of the function $F \colon \overline{\mathrm{B}_{R}(0)} \to \mathbb{C}$ given by $z \overset{F}{\longmapsto} |f(z)|$ and the compactness of $\overline{\mathrm{B}_{R}(0)}$ allow us to ascertain the existence of $z_{0} \in \overline{\mathrm{B}_{R}(0)}$ such that $$|f(z_{0})| \leq |f(z)|$$ for every $z \in \overline{\mathrm{B}_{R}(0)}$. From $(\ast)$ we infer that $z_{0}$ is actually an element of $\mathrm{B}_{R}(0)$; then, by resorting to the Minimum-Modulus Principle, we conclude that $|f(z_{0})|$ must be equal to $0$ and we are done.
Scholia. a) If I understand correctly, the basic idea in this approach to the Fundamental Theorem of Algebra can be traced back to a 1748 memoir of d' Alembert. Yet, according to what we read in Reinhold Remmert's essay on the Fundamental Theorem of Algebra in [1, pp. 99-122], there were some gaps in d' Alembert's original argument that would be pointed out by a twenty-two-year-old Gauss in the beginning of his doctoral thesis "Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse" which he submitted to Pfaff at the University of Helmstedt in 1799 and through which he obtained his doctorate. However, it is noteworthy that, on that occasion, "... Gauss also [remarked], almost prophetically (Werke 3, p.11): 'For these reasons I am unable to regard the proof by d' Alembert as entirely satisfactory, but that does not prevent, in my opinion, the essential idea of the proof from being unaffected, despite all objections; I believe that ... a rigorous proof could be constructed on the same basis.'" b) Interestingly enough, the proof of the Fundamental Theorem of Algebra showcased by Aigner & Ziegler's in their Proofs from THE BOOK (5th. edition, pp. 147-149) is based on the aforementioned d'Alembertian attack as subsequently simplified by Argand in 1814.
References [1] H. D. Ebbinghaus, et al., Numbers. Graduate Texts in Mathematics 123, Springer-Verlag, NY, 1991.
Como algunos de ustedes ya saben, el Día de π en este año se celebrará el próximo sábado 14 de marzo (incidentemente, un día antes de los IDUS DE MARZO, el momento del año en que supuestamente fue asesinado el preclaro militar y político romano Julio César [100 a.C.—44 a.C.]).
Se elige el 14 de marzo para celebrar a $\pi$ pues en algunos países la fecha correspondiente a tal día se escribe como 3/14 o 3.14; claramente, ambas expresiones evocan la aproximación a $\pi$ que en la escuela básica frecuentemente se "inculca" como el valor exacto de ese número. Con el transcurrir de los años, el estudiante aprende que esa práctica de igualar, implícita o explícitamente, a $\pi$ con 3.14 no es correcta pues $\pi$ es un número que no sólo es irracional (esto es, $\pi$ es un número que no se puede expresar como el cociente de dos números enteros) sino que también es trascendente (i.e., no es cero de ningún polinomio con coeficientes enteros).
En este 2015, la conmemoración del Día de π está sonando bastante porque nunca falta quien pretenda asociarle a la fecha del próximo sábado la expresión
3/14/15
o, ya entrados en gastos, considerando horas, minutos y segundos, algo de esta especie:
3/14/15/9:26.53...
La expresión anterior puede verse como una aproximación a $\pi$ con un error absoluto de $5.89793\ldots \times 10^{-10} $ pues es sabido que
$\pi =3.1415926535897\mathbf{9}3... \quad (\ast)$
La oservación a la que se hace alusión en el título de esta nota tiene que ver precisamente con esas primeras 15 cifras de $\pi$ después del punto decimal y con el doblaje al español del cortometraje Donald en el País de las Matemágicas, el cual puede encontrarse en el siguiente enlace:
Alrededor del minuto 1.75 del corto, o al menos de la versión que aparece en ese enlace, verán ustedes a un monito sobre la rama de un árbol que recita lo siguiente:
$\pi$ es igual a $3.1415926535897\mathbf{4}7$ etc., etc., etc.
¿Notan la discrepancia en las posiciones 14 (después del punto decimal) entre el desarrollo para $\pi$ que presentamos en $(\ast)$ y el desarrollo que está sugiriendo la gente de Walt Disney?
Indicaremos a continuación los elementos necesarios para convencerse de que es el monito de Disney quien incurre en una pifia al afirmar que $\pi$ es igual $3.141592653589747\ldots$ Aunque lo que viene a continuación puede lucir un tanto técnico, lo que hay que recordar básicamente es que, en la práctica, una manera de obtener aproximaciones a $\pi$ es mediante el desarrollo de Taylor para la función $\arctan(x)$ y el hecho de que $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$.
De nuestros cursos de cálculo infinitesimal sabemos que
donde el término de error $R(x)$ está acotado en valor absoluto por
$\displaystyle \frac{|x|^{2n+3}}{2n+3}.$
De esto se sigue que si queremos conocer, por decir algo, las primeras 14 cifras (después del punto decimal) de $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$, lo que tenemos que hacer es determinar en primer lugar un número natural $N$ tal que
lo que haríamos a continuación sería evaluar el polinomio
$\displaystyle x - \frac{x^3}{3} + \cdots + \frac{(-1)^N x^{2N+1}}{2N+1}$
en $x=1$. En este caso, el primer número natural $N$ que satisface la desigualdad ubicada más a la derecha en $(\ast \ast \ast)$ es el ceiling de $(10^{14}-3)/2$: desafortunadamente, el número $N$ así obtenido es demasiado grande como para que ejecutemos "a mano" el plan previamente delineado. Lo que típicamente se hace entonces es expresar $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$ en términos de arcotangentes de números más pequeños que $1$. Por ejemplo, de la interpretación geométrica de la multiplicación de números complejos y la igualdad
En consecuencia, para obtener las primeras 14 cifras después del punto decimal de $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$, basta con determinar el primer número natural $N$ tal que
Resulta ser que el primer número natural que satisface la condición anterior es $N=9$. Concluimos de esto y de la igualdad en $(\ast^{4})$ que
$p=0.785398163397447$
y $\frac{\pi}{4}$ coinciden en sus primeras 14 cifras decimales. Comparando lo anterior con el resultado que se obtiene al dividir el $\pi$ de Disney por $4$, concluimos que es falso que la cifra 14 después del punto decimal de $\pi$ sea $4$: en otras palabras, ¡el monito declamador que aparece en esa escena de Donald en el País de las Matemágicas es todo un trolero!
Sin más por el momento, les deseamos la mejor de las suertes con el bombardeo de memes, gifs, etc. que podría presentarse el próximo sábado en ocasión del Día de π (del Milenio, según se está manejando en algunos sitios). De nuestra parte sólo quedaría agregar un par de vínculos relacionados con lo que se ha expuesto previamente. En primer lugar, podrían intentar echarle un ojo a la demostración más breve de la irracionalidad de $\pi$ que se conoce hoy en día:
En segundo lugar tenemos un enlace donde encontrarán una anécdota debida a George Gamow en la cual se relata cómo en cierta ocasión el teorema de Taylor le salvó la vida al físico soviético Igor Tamm (quien fuera laureado con el Nobel de Física en 1958):
