Hay varias maneras de establecer la divergencia de la serie de los recíprocos de los números primos. En una entrada anterior de la bitácora les platiqué la bonita demostración debida al gran Pál Erdős. En esta ocasión deseo comentarles una manera sucinta de presentar la demostración dada por L. Euler en el siglo XVIII.
El punto de partida lo proporciona la desigualdad $$\prod_{p \leq N} \left(1+\frac{1}{p} + \frac{1}{p^{2}}+\cdots \right) \geq 1 + \frac{1}{2}+ \cdots + \frac{1}{N} \qquad (\ast)$$ la cual es válida para todo $N \in \mathbb{N}$ (sí, el producto en el lado izquierdo es sobre los números primos del intervalo $[1,N]$) y es una consecuencia (más o menos directa) del teorema fundamental de la aritmética. La expresión en el lado derecho corresponde a la $N$-ésima suma parcial de la serie armónica y está acotada inferiormente por el logaritmo natural de $N$: \begin{eqnarray*} 1 + \frac{1}{2}+ \cdots + \frac{1}{N} &>& 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{N-1}\\ &\geq& \int_{1}^{2} \frac{1}{t}\, dt + \int_{2}^{3} \frac{1}{t} \, dt\\ &+& \cdots + \int_{N-1}^{N} \frac{1}{t}\, dt\\ &=& \int_{1}^{N} \frac{1}{t} \, dt\\ &=& \log N. \end{eqnarray*} Luego, en vista de que para cada $x \in (0,1/2]$ se cumple que $e^{2x}> \frac{1}{1-x}$, de la desigualdad $(\ast)$ se sigue que \begin{eqnarray*} \log N &<& \prod_{p \leq N} \left(1+\frac{1}{p} + \frac{1}{p^{2}}+\cdots \right)\\ &=& \prod_{p \leq N} \frac{1}{1-\frac{1}{p}}\\ &<& \prod_{p \leq N} e^{\frac{2}{p}}. \end{eqnarray*} Se tiene así que $$\sum_{p \leq N} \frac{1}{p} > \frac{\log \log N}{2}$$ si $N>2$. Puesto que la "función" $\log \log N$ tiende a infinito cuando $N \to \infty$ (aunque nadie la ha visto hacerlo), la prueba termina.
Escolios. a) De la desigualdad $\log N < \prod_{p \leq N} e^{\frac{2}{p}}$ se desprende inmediatamente que $\pi(N) > \log \log N$ para cada $N \in \mathbb{N} \cap [3,\infty)$: esta cota inferior para la función contadora de primos, aunque burda, conlleva a una demostración de la infinitud del conjunto de números primos distinta a la de Eucl. IX-20. b) El connoisseur está en todo su derecho de proclamar que los detalles sobre el "crecimiento" de la sucesión de sumas parciales de la serie armónica pudieron haberse omitido. c) Bien pudiera decirse que la dem. ha partido, esencialmente, de un corolario del desarrollo en producto de Euler para la función zeta de Riemann. d) Sí, la divergencia de la serie armónica es equivalente a la divergencia de la serie de los recíprocos de los números primos.
¡Hasta pronto!
