Una cita...

que leí en un libro de M. Perero hace siglos y cuyos orígenes acabo de demistificar en estos días. Voy a dejar aquí la referencia exacta por dos razones: una, necesito comparar mi interpretación de la primera línea de la frase con alguien más; dos, quiero tenerla a la mano por aquello de los debates que suelo librar con el Infinitum que el webmaster de Gaussianos tanto suele mencionar:

"... The membership of Bourbaki seems to vary between 10 and 20. With one conspicuous exception all the members have always been French. The exception is Samuel Eilenberg (originally from Warsaw, now at Columbia University). Known to the friends of his youth as S²P² (for Smart Sammy the Polish Prodigy), Eilenberg is a charming extrovert who learned more about the U.S. within six months of his arrival than most Americans ever find out. (One of the first things he did was to go on an extended hitchhiking tour.) Since he speaks French like a native and knows more algebraic topology than any Frenchman, the unwritten rule restricting Bourbaki to Frenchmen was waived to admit him."

Paul R. Halmos en Scientific American, Vol. 196, págs. 88-89, 1957.

Hasta muy pronto, amigos...

Muy bueno

¿Qué hay de nuevo, estimados lectores?

La propuesta del día de hoy será un parteaguas en la historia de su blog favorito. Espero que sea del agrado de todos:

60 y pico. Un subconjunto S de los números naturales es gordo si la serie conformada por los recíprocos de los elementos de S diverge. ¿Puede usted dotar a N de una topología T de tal manera que se tenga una correspondencia biunívoca entre los densos de N —según la topología T— y los elementos gordos de P(N)?

La pregunta ha surgido de modo natural en el curso de ciertas lecturas en Aritmética. El que ahora escribe^* cuenta con una solución para el problema, pero estaría más que encantado de leer los resultados de las investigaciones de todos aquellos que acepten el reto. Saludos a todos.
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^* No necesariamente tiene que tratarse del dueño original del blog. Una explicación de ésta potencial dicotomía fue dada por Heráclito hace mucho tiempo y es por todos conocida:

Las aguas no son las mismas, tampoco lo somos nosotros. Las cosas son y no son a la vez, pues a la vez que son, están dejando de ser...

¡Vooolver!

3C. Sea k un número natural mayor que 1. ¿Se puede hacer una partición de N con ayuda de k progresiones aritméticas donde ningún par de ellas compartan la misma diferencia común?

Una medalla de chocolate al primero que postee una solución completa a este retito. El premio de consolación para todos los demás consiste en una dotación de cordiales saludos. :)

Au revoir...

Y volver, volver...

El objetivo de la entrada actual es uno solo: retomar el contacto con todos ustedes, estimados lectores... Sentimos mucho el habernos distanciado del changarro en estas últimas semanas.

Antes de presentar el reto del momento quisieramos hacer un par de anotaciones con respecto al problema 58. En los comentarios de la entrada respectiva se publicó un intento de solución a la propuesta. Dicha solución hace mención a un hecho que excede en demasía la estatura de nuestro problema. Me atrevo a pensar que esa es la opinión que más de uno de ustedes mantiene con respecto a tal argumento. Espero que la solución oficial que presentamos a continuación les resulte más transparente a todos:

*

Solución. Decimos que un número tiene la propiedad S si él se puede expresar como la suma de seis cuadrados perfectos positivos (esta convención la hacemos con el fin de agilizar la redacción de lo que viene). Como 2009 = 7²(6² + 1² + 1² + 1² + 1² + 1²), se sigue que 2009 tiene la propiedad S. Esto implica de inmediato que toda potencia impar de 2009 posee dicha propiedad. En efecto, si k es un número natural arbitrario se cumple que 2009^2k+1 = (2009)^2k(2009), tal como habíamos anunciado.

Para las potencias pares se procede de modo análogo y en realidad la única dificultad en dicho caso radica en establecer que 2009² tiene la propiedad S. Dicha parte se reduce a su vez a probar que el cuadrado de 41 cumple con la propiedad. Para mostrar esto notamos que

41² = 37² + 74 · 4 + 4² = 37² + 2²(6² + 6²+1²+1²) + 4²

y la demostración termina.

*

Resta entonces presentar la propuesta del momento:

59. Pruebe que todo entero n tiene infinitas representaciones de la forma

± 1² ± 2² ± ... ± k²

para una k adecuada (en cada caso) y una elección pertinente de los símbolos + y -.

Suerte a todos con ella. ¡Hasta muy pronto!

El del año: para no dejar

Hola a todos,

La propuesta del momento es bastante ligera. No obstante, creo que tiene todo lo necesario para cautivar la atención de los suspicaces seguidores de este blog. Espero no defraudar a ninguno de ustedes con ella:

58. Demuestre que toda potencia natural de 2009 se puede expresar como la suma de seis cuadrados perfectos positivos.

Por favor, no dejen de comunicarme sus soluciones para esta perla de la Aritmética. ¡Hasta muy pronto!

Para no irse por la banqueta

Hola a todos,

He aquí una imagen que me encontré en la Wikipedia hace unos días. Se trata, nada más ni nada menos, de una especie de homenaje que el gobierno de Pekín rindió en 2008 al teorema del valor medio. Mirad:

Toda una joya del paisaje urbano pekínes, ¿no lo creen?

Según esto, la foto se tomó a sólo unas cuadras al sur de la Plaza de Tiananmen.

El reto del momento consiste en obtener testimonios sobre la autenticidad de la imagen. Una vez hecho esto queda una interrogante más que resolver. ¿Qué dice el letrero que está en el otro costado del puente? ¿Se trata acaso de una demostración —en una línea— del teorema?

Saludos a todos. Espero saber de ustedes muy pronto.

Seguro-Social: ¡tenemos un problema!

*

57. Sea L una familia de rectas en el plano. Demuestre que si cualesquiera tres rectas de L se intersectan en un punto, entonces todas las rectas de L tienen un punto en común.

QUID, ME ANXIUS SUM?
Esperamos que la propuesta sea de su agrado. Suerte a todos con el reto del día y con la recién prescrita cuarentena .

¡Salud!