Merodeando en los archivos de Gaussianos he encontrado esta pequeña perla de la Teoría de Grupos:
- Sea (G, •) un grupo abeliano de orden n. Si F es el funtor olvidadizo que sale de Ab y llega a Set y F[(G, •)] = {a1, ..., an}, determine a qué elemento de G es igual el producto a1 • ... • an.
El problema fue publicado hace dos años en aquella bitácora y en el sector de comentarios respectivo se pueden encontrar algunas alternativas de solución a dicha propuesta. En las líneas siguientes presentamos una respuesta más que seguramente ganará la aprobación de todos ustedes. Veamos:
Sea e el neutro del grupo (G, •). Dado que el grupo es abeliano, los factores presentes en (a1 • ... • an) se pueden acomodar de tal manera que los elementos que no son involuciones queden al lado de sus inversos. Una vez hecho eso resulta evidente que calcular el producto de todos los elementos de un grupo abeliano finito se reduce a calcular el producto de todas sus involuciones. Por otra parte, al observarse que el conjunto que se obtiene al adjuntar el elemento neutro de un grupo abeliano finito (G, •) al conglomerado de sus involuciones es un subgrupo, el problema original se reduce a la consideración del caso cuando (G, •) es un 2-grupo abeliano y finito.
Si |G| = 2 se concluye que el producto de todos los elementos del grupo es igual a la única involución de (G, •). Si |G| > 2 entonces lo que se intuye es que G no debe tener involuciones distinguidas y de ahí que el producto de todas ellas tenga que ser igual a e. La prueba de esta última afirmación la llevamos a cabo por inducción.
Si |G| = 4 y el producto de todos sus elementos no es el neutro entonces e • a1 • ... • a3 = a1 (por decir algo). De esta ecuación se obtiene que a2 • a3 = e y por tanto a2 = a3. Lo anterior es una contradicción y de ahí que la base de la inducción se tenga.
Supongamos entonces que el resultado es cierto para todo grupo cuyo orden es menor que 2n. Veamos ahora lo que ocurre al estudiar grupos de orden 2n.
Todo grupo abeliano finito tiene un subgrupo por cada divisor de su orden. Sea entonces (H, •) un subgrupo de orden 2n-1 en un grupo (G, •) de orden 2n. El índice del subgrupo (H, •) es 2 y de ahí que
para alguna a en G y no en H. De lo anterior se desprende de inmediato que G = {a1, ..., a2n-1, a1a, ..., a2n-1a} y por tanto el producto de todos los elementos de G es
tal como se había anunciado.
No dejen de postearnos sus opiniones con respecto al argumento éste. Siendo sinceros, los que ví en Gaussianos me parecieron un tanto sobrados y de ahí el impulso por pensar en uno más acá. Saben a lo que me refiero, ¿no?
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