ASDF

Merodeando en los archivos de Gaussianos he encontrado esta pequeña perla de la Teoría de Grupos:

- Sea (G, •) un grupo abeliano de orden n. Si F es el funtor olvidadizo que sale de Ab y llega a Set y F[(G, •)] = {a₁, ..., a_n}, determine a qué elemento de G es igual el producto a₁ • ... • a_n.

El problema fue publicado hace dos años en aquella bitácora y en el sector de comentarios respectivo se pueden encontrar algunas intentonas de solución a dicha propuesta. En las líneas siguientes presentamos una respuesta que seguramente ganará la aprobación de todos ustedes. Veamos:

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Sea e el neutro del grupo (G, •). Dado que el grupo es abeliano, los factores presentes en (a₁ • ... • a_n) se pueden acomodar de tal manera que los elementos que no son involuciones queden al lado de sus inversos. Una vez hecho eso resulta evidente que calcular el producto de todos los elementos de un grupo abeliano finito se reduce a calcular el producto de todas sus involuciones. Denotemos con I_G al subgrupo de G que se obtiene al agregar e al conjunto de todas sus involuciones.

Si |I_G| = 2, se concluye que el producto de todos los elementos del grupo es igual a la única involución de (G, •).

Si |I_G| > 2 entonces lo que se intuye es que G no debería tener involuciones distinguidas y de ahí que el producto de todas ellas tenga que ser igual a e. La prueba de esta última afirmación la llevamos a cabo por inducción.

Si |I_G| = 4 y el producto de todos sus elementos no es el neutro entonces e • a₁ • ... • a₃ = a₁ (por decir algo). De esta ecuación se obtiene que a₂ • a₃ = e y por tanto a₂ = a₃. Lo anterior es una contradicción y de ahí que la base de la inducción se tenga.

Supongamos entonces que el resultado es cierto siempre que el orden de I_G es una potencia de 2 menor que 2ⁿ (y mayor que 4). Veamos ahora lo que ocurre en el caso |I_G| = 2ⁿ.

Todo grupo abeliano finito tiene, por cada divisor de su orden, (al menos) un subgrupo con ese orden. Sea entonces (H, •) un subgrupo de orden 2^n-1 de I_G. El índice del subgrupo (H, •) es 2 y de ahí que

I_G = H ∪Ha

para alguna a en I_G y no en H. De lo anterior se desprende de inmediato que I_G = {a₁, ..., a_2^n-1, a₁a, ..., a_2^n-1a} y por tanto el producto de todos los elementos de I_G es

(a₁ • ... • a_2^n-1)( a₁a • ... • a_2^n-1a) = (a₁ • ... • a_2^n-1)²a^2n-1 = e,

tal como se sospechaba.

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No dejen de postearnos sus opiniones con respecto al argumento éste. Siendo sinceros, los que ví en Gaussianos me parecieron un tanto sobrados y de ahí el impulso por pensar en uno más acá. Saben a lo que me refiero, ¿no?

Una exclusiva más de su bitácora favorita...