V. I. Arnold

El reto de esta ocasión pretende fungir como un modesto homenaje al Profesor Arnold quien ha fallecido recientemente. El problema está basado en un curioso ejercicio al que él solía aludir en añoranza de las hazañas de los matemáticos de la vieja escuela.

Específicamente, el Profesor solicitaba calcular el límite, cuando $x$ tiende a cero, de

$\displaystyle \frac{\sin (\tan x) - \tan (\sin x)}{\arcsin(\arctan x) - \arctan(\arcsin x)}.$

El Profesor agregaba que un problema así le tomaría no más de unos cuantos minutos a hombres como Barrow, Newton y Huygens pues, a diferencia de los matemáticos de la actualidad, ellos sí sabían calcular. En [1], el Profesor mencionaría que Gerd Faltings era la única excepción a tal afirmación suya.

Al parecer, la historia anterior y el límite mismo son objeto de culto en los círculos matemáticos rusos. La siguiente foto, tomada en la cafetería de la Universidad Independiente de Moscú (cortesía de Parker) puede constatar esto que ahora digo.


Procedamos entonces con la develación de la propuesta del momento:

65. Sean $f$ y $g$ dos funciones analíticas (reales) alrededor del $0$, con $f(0) = g(0) = 0$ y $f^{\prime}(0) = g^{\prime}(0) = 1$. ¿Cuál es el límite de

$\displaystyle \frac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x) - f^{-1}(x)}$

cuando $x$ tiende a $0$?

Espero que el problema sea de su agrado y que ayude a perpetuar la memoria del Profesor Arnold.

Referencias

[1] V. I. Arnold. Huygens and Barrow, Newton and Hooke. Birkhäuser Verlag, pág. 28.