sábado, 6 de noviembre de 2010

15 de Brumario

La pregunta del momento: Sea (X,τ) un espacio topológico y D un subconjunto denso de X. ¿Será cierto que si por cada d ∈ D elegimos un abierto (propio) Ad tal que dAd, entonces

$\mathbf{X} = \bigcup_{\mathbf{d} \in \mathrm{D}} \mathbf{A}_\mathbf{d}$ ?

Por favor, no dejen de intentarle...

1 comentario:

Gustavo Piñeiro dijo...

La respuesta es no. Tomemos, por ejemplo, una numeración de los racionales: q1, q2, q3,... Para cada qn tomemos el abierto (qn - 1/2^(n + 1), qn + 1/2^(n + 1)), de longitus 1/2^n.

Si R estuviera contenido en la unión de todos los abiertos entonces la longitud de R sería menor o igual que la suma de todos los abiertos, pero esto es imposible porque la suma de todos los abiertos es 1.