... Landau was an instance of that uncommon phenomenon, the scion of a wealthy family who yet had a powerful work ethic and a record of great achievement in a non-commercial field. Landau's mother Johanna, née Jacoby, came from a rich banking family. His father was a Professor of Gynecology in Berlin, with a successful practice. Landau Senior was also a keen supporter of Jewish causes. The family home was at Pariser Platz 6a, in the most elegant quarter of Berlin, close to the Branderburg Gate. Edmund was appointed to a professorship at Göttingen in 1909. When people asked for directions to his house, he would reply "You can't miss it. It's the finest house in town." He followed his father's (and Hadamard's) interest in Zionism, helping to establish the Hebrew University of Jerusalem and giving the first math lecture there, in Hebrew, shortly after the university opened in April 1925.
Landau was something of a character--this was a great age for mathematical characters--and there are apocrypha about him rivaling those of Hilbert and Hardy. Perhaps the best-known story is his remark about Emmy Noether, a colleague at Göttingen. Noether was mannish and very plain. Asked if she was not an instance of a great female mathematician, Landau replied: "I can testify that Emmy is a great mathematician, but that she is a female, I cannot swear." His work ethic was legendary. It is said that when one of his junior lecturers was in hospital, recuperating from a serious illness, Landau climbed a ladder and pushed a huge folder of work through the poor man's window. According to Littlewood, Landau simply did not know what it was like to be tired...
References J. Derbyshire, Prime obsession: B. Riemann and the greatest unsolved problem in mathematics. Published by Plume (a member of Penguin Group), USA, 2003, pp. 230-231.
Al releer recientemente el artículo donde Erdös expone su prueba del postulado de Bertrand, caí en la cuenta
de que el buen Paul sí mencionó en ese trabajo que su prueba daba también una cota inferior para el número de primos en los intervalos $(n,2n]$ (donde $n \in \mathbb{N}$) y que dicha cota es prácticamente la que predice el teorema de los números primos.
Recordemos que lo que Erdös hace en su artículo es acotar inferior y superiormente los coeficientes binomiales $c_{n}:=\binom{2n}{n}$ y comparar entre sí sendas estimaciones.
La estimación inferior es
$$\frac{4^{n}}{2n} \leq \binom{2n}{n}$$
y la obtiene de la identidad $\binom{2n}{0} + \ldots + \binom{2n}{2n} = 2^{2n} = 4^{n}$. La estimación superior la obtiene al estudiar de una manera muy astuta la descomposición en números primos de $\binom{2n}{n}$: en efecto, del teorema fundamental de la aritmética, de la fórmula Legendre (cf. A. M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres. Seconde édition, 1808, págs. 8-10; de acuerdo con W. Narkiewicz, la atribución a de Polignac (1826-1863) y/o a Chebyshev (1821-1894) de este resultado es incorrecta) y de la desigualdad de Erdös-Kalmár se llega a que
\begin{eqnarray*}
\binom{2n}{n} &\leq & \prod_{p \leq \sqrt{2n}} p^{\alpha_{p}(c_{n})} \prod_{\sqrt{2n} < p \leq \frac{2}{3}n} p
\prod_{n < p \leq 2n} p\\
&\leq& \prod_{p \leq \sqrt{2n}} (2n) \cdot 4^{\frac{2}{3}n} \cdot \prod_{n < p \leq 2n} p\\
&\leq& (2n)^{\sqrt{2n}} \cdot 4^{\frac{2}{3}n} \cdot \prod_{n < p \leq 2n} p
\end{eqnarray*}
para cada número natural $n \geq 3$. La conexión con el estudio de los números primos en $(n,2n]$ se acaba de hacer más que patente en este momento, ¿cierto?
De ambas estimaciones se desprende que si $n\geq 3$ entonces
\begin{eqnarray*}
4^{\frac{n}{3}} \leq (2n)^{1+\sqrt{2n}} \prod_{n < p \leq 2n} p.
\end{eqnarray*}
De esto y de la desigualdad
$$ (2n)^{1+\sqrt{2n}} < 2^{\frac{n}{2}},$$
la cual es válida para todo número natural $n$ suficientemente grande (lo que en este caso quiere decir, en números redondos, siempre que $n > 22 \, 620$), se obtiene
que
$$ \prod_{n < p \leq 2n} p > 2^{\frac{n}{6}}$$
si $n$ es suficientemente grande: ergo, para cada $n$ así de grande se cumple que
$$(2n)^{\pi(2n)-\pi(n)} > 2^{\frac{n}{6}},$$
o equivalentemente que
\begin{eqnarray*}
\pi(2n)-\pi(n) > \frac{\log 2}{6} \cdot \frac{n}{\log 2n}.
\end{eqnarray*}
En resumidas cuentas: ¡la formulación clásica del postulado de Bertrand es sumamente conservadora!
In what follows, we shall denote the set of positive prime numbers by $\mathbf{P}$.
Act I. It is more or less well-known that there does not exist a non-constant polynomial $f \in \mathbb{Z}[x]$ such that $f(n) \in \mathbf{P}$ for every $n \in \mathbb{N}$. This can be proven by reductio ad absurdum: if $f(n) \in \mathbf{P}$ for every $n \in \mathbb{N}$ and $f(1) =: p$, then $p \mid f(1+kp)$ for every $k \in \mathbb{N}$; it follows that at least one of the equations $f(x)=p$ or $f(x)=-p$ has more solutions than $\deg(f)$, Q. E. A. This result is typically attributed to Christian Goldbach: W. Narkiewicz, on page 25 of his "The Development of Prime Number Theory", even mentions that it can be found in a letter from Goldbach to Euler written on September 28th, 1743. Luckily for us, Springer-Verlag published two years ago a translation into English of the correspondence of L. Euler with C. Goldbach edited and commented by F. Lemmermeyer and M. Mattmüller.
Act II. Several years ago, while perusing a very interesting article on primes in arithmetic progressions by M. R. Murty, I learned the notion of prime divisor of a polynomial: if $p \in \mathbf{P}$ and $f \in \mathbb{Z}[x]$, we say that $p$ is a prime divisor of $f$ if $p \mid f(n)$ for some $n \in \mathbb{Z}$. According to Murty, the basic theorem on the set of prime divisors of a non-constant $f \in \mathbb{Z}[x]$ can be traced back (at least) to a 1912 paper of I. Schur. The theorem can be proven emulating the celebrated proof of Eucl. IX-20.
Theorem. If $f$ is a non-constant polynomial of integer coefficients, then its set of prime divisors is infinite.
Proof. If $f(0)=0$, then every $p \in \mathbf{P}$ is a prime divisor of $f$. If $f(0) = c \neq 0$, then $f$ has at least one prime divisor as it can take on the values $\pm 1$ only finitely many times. Given any finite set $\mathcal{P}_{k}:=\{p_{1}, \ldots, p_{k}\}$ of prime divisors of $f$, we are to show that we can always find another prime divisor of $f$ which does not belong to $\mathcal{P}_{k}$. Let $A := p_{1} \cdots p_{k}$ and consider the equality $f(Acx)=cg(x)$ where $g \in \mathbb{Z}[x]$ is a polynomial of the form $1+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots$ where every $c_{i}$ is a multiple of $A$. Since $g$ is a non-constant polynomial whose constant term is different from $0$, $g$ has at least one prime divisor $p$. Clearly enough, this prime number $p$ is also prime divisor of $f$ which does not belong to $\mathcal{P}_{k}$. Q.E.D.
Act III. Resorting to the ideas in the previous paragraphs plus Dirichlet's glorious theorem on primes in arithmetic progressions, we are going to determine all the non-constant polynomials $f \in \mathbb{Z}[x]$ such that $f(\mathbf{P}) \subseteq \mathbf{P}$.
- If $f$ is one such polynomial and $f(0)=0$, then $f(x)=xg(x)$ for some some $g \in \mathbb{Z}[x]$. Given that $p \cdot g(p) =f(p) \in \mathbf{P}$ for every $p \in \mathbf{P}$, it follows that $g(p) = \pm 1$ for every $p \in \mathbf{P}$; therefore, in this case we obtain that either $g(x)=1$ and $f(x) =x$ or $g(x)=-1$ and $f(x)=-x$.
- Let us assume now that $f$ is one such polynomial and $f(0)=c \neq 0$. By the above theorem, we may fix a prime divisor $q$ of $f$ which is greater than $|c|$. If $n \in \mathbb{Z}$ is a witness of the fact that $q$ is a prime divisor of $f$, then $q \nmid n$. Thus, if $p_{1} < p_{2} < p_{3} < \ldots$ are all the positive primes in the arithmetic progression whose first term is $n$ and whose common difference is $q$, we have that $f(p_{i}) \equiv f(n) \equiv 0 \pmod{q}$ for every $i \in \mathbb{N}$, which is decidedly absurd because $f$ can assume the values $\pm q$ only finitely many times.
Hence, $f(x)=x$ is the only non-constant polynomial with integer coefficients which sends $\mathbf{P}$ to one of its subsets.
Banach y Tarski se encontraban gesticulando y argumentando, en el mismo cubículo, frente a un inmenso pizarrón verde, cuando demostraban el teorema que a la postre sería conocido como la Paradoja de Banach-Tarski: dada una bola sólida en $\mathbb{R}^{3}$, existe una descomposición de esta en un número finito de subconjuntos disjuntos que se pueden juntar otramente para producir dos copias idénticas a la bola original. Justo cuando terminaron la prueba, ambos callaron y se miraron muy contentos. Tarski hizo una pequeña aspiración y retuvo el aire un instante hasta que finalmente, absorto, le dijo a Banach: "Ahora sabemos cómo fue que Cristo multiplicó los peces y el pan".
Postdata. Leí este cuento por vez primera en 2016: no obstante, debo de confesar que estuve aguardando su aparición desde aproximadamente el primer semestre de 2004 pues fue más o menos in illo tempore que el Prof. Vulfrano T. me comentó que la multiplicación de los panes y los peces se podía conectar con el Axioma de Elección.
«It is related of the Socratic philosopher Aristippus (c. 435 – c. 356 BCE) that, being shipwrecked and cast ashore on the coast of the Rhodians, he observed geometrical figures drawn thereon, and cried out to his companions: "Let us be of good cheer, for I see the traces of man." With that he made for the city of Rhodes, and went straight to the gymnasium. There he fell to discussing philosophical subjects, and presents were bestowed upon him, so that he could not only fit himself out, but could also provide those who accompanied him with clothing and all other necessaries of life. When his companions wished to return to their country, and asked him what message he wished them to carry home, he bade them say this: that children ought to be provided with property and resources of a kind that could swim with them even out of a shipwreck...»
Let $f$ be a nonconstant polynomial with complex coefficients. Since $|f(z)| \to \infty$ as $z \to \infty$, we guarantee the existence of $R>0$ such that $$|f(z)|>|f(0)| \quad \quad (\ast)$$ for every $z \in \mathbb{C} \setminus \mathrm{B}_{R}(0)$.
On the other hand, the continuity of the function $F \colon \overline{\mathrm{B}_{R}(0)} \to \mathbb{C}$ given by $z \overset{F}{\longmapsto} |f(z)|$ and the compactness of $\overline{\mathrm{B}_{R}(0)}$ allow us to ascertain the existence of $z_{0} \in \overline{\mathrm{B}_{R}(0)}$ such that $$|f(z_{0})| \leq |f(z)|$$ for every $z \in \overline{\mathrm{B}_{R}(0)}$. From $(\ast)$ we infer that $z_{0}$ is actually an element of $\mathrm{B}_{R}(0)$; then, by resorting to the Minimum-Modulus Principle, we conclude that $|f(z_{0})|$ must be equal to $0$ and we are done.
Scholia. a) If I understand correctly, the basic idea in this approach to the Fundamental Theorem of Algebra can be traced back to a 1748 memoir of d' Alembert. Yet, according to what we read in Reinhold Remmert's essay on the Fundamental Theorem of Algebra in [1, pp. 99-122], there were some gaps in d' Alembert's original argument that would be pointed out by a twenty-two-year-old Gauss in the beginning of his doctoral thesis "Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse" which he submitted to Pfaff at the University of Helmstedt in 1799 and through which he obtained his doctorate. However, it is noteworthy that, on that occasion, "... Gauss also [remarked], almost prophetically (Werke 3, p.11): 'For these reasons I am unable to regard the proof by d' Alembert as entirely satisfactory, but that does not prevent, in my opinion, the essential idea of the proof from being unaffected, despite all objections; I believe that ... a rigorous proof could be constructed on the same basis.'" b) Interestingly enough, the proof of the Fundamental Theorem of Algebra showcased by Aigner & Ziegler's in their Proofs from THE BOOK (5th. edition, pp. 147-149) is based on the aforementioned d'Alembertian attack as subsequently simplified by Argand in 1814.
References [1] H. D. Ebbinghaus, et al., Numbers. Graduate Texts in Mathematics 123, Springer-Verlag, NY, 1991.
Como algunos de ustedes ya saben, el Día de π en este año se celebrará el próximo sábado 14 de marzo (incidentemente, un día antes de los IDUS DE MARZO, el momento del año en que supuestamente fue asesinado el preclaro militar y político romano Julio César [100 a.C.—44 a.C.]).
Se elige el 14 de marzo para celebrar a $\pi$ pues en algunos países la fecha correspondiente a tal día se escribe como 3/14 o 3.14; claramente, ambas expresiones evocan la aproximación a $\pi$ que en la escuela básica frecuentemente se "inculca" como el valor exacto de ese número. Con el transcurrir de los años, el estudiante aprende que esa práctica de igualar, implícita o explícitamente, a $\pi$ con 3.14 no es correcta pues $\pi$ es un número que no sólo es irracional (esto es, $\pi$ es un número que no se puede expresar como el cociente de dos números enteros) sino que también es trascendente (i.e., no es cero de ningún polinomio con coeficientes enteros).
En este 2015, la conmemoración del Día de π está sonando bastante porque nunca falta quien pretenda asociarle a la fecha del próximo sábado la expresión
3/14/15
o, ya entrados en gastos, considerando horas, minutos y segundos, algo de esta especie:
3/14/15/9:26.53...
La expresión anterior puede verse como una aproximación a $\pi$ con un error absoluto de $5.89793\ldots \times 10^{-10} $ pues es sabido que
$\pi =3.1415926535897\mathbf{9}3... \quad (\ast)$
La oservación a la que se hace alusión en el título de esta nota tiene que ver precisamente con esas primeras 15 cifras de $\pi$ después del punto decimal y con el doblaje al español del cortometraje Donald en el País de las Matemágicas, el cual puede encontrarse en el siguiente enlace:
Alrededor del minuto 1.75 del corto, o al menos de la versión que aparece en ese enlace, verán ustedes a un monito sobre la rama de un árbol que recita lo siguiente:
$\pi$ es igual a $3.1415926535897\mathbf{4}7$ etc., etc., etc.
¿Notan la discrepancia en las posiciones 14 (después del punto decimal) entre el desarrollo para $\pi$ que presentamos en $(\ast)$ y el desarrollo que está sugiriendo la gente de Walt Disney?
Indicaremos a continuación los elementos necesarios para convencerse de que es el monito de Disney quien incurre en una pifia al afirmar que $\pi$ es igual $3.141592653589747\ldots$ Aunque lo que viene a continuación puede lucir un tanto técnico, lo que hay que recordar básicamente es que, en la práctica, una manera de obtener aproximaciones a $\pi$ es mediante el desarrollo de Taylor para la función $\arctan(x)$ y el hecho de que $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$.
De nuestros cursos de cálculo infinitesimal sabemos que
donde el término de error $R(x)$ está acotado en valor absoluto por
$\displaystyle \frac{|x|^{2n+3}}{2n+3}.$
De esto se sigue que si queremos conocer, por decir algo, las primeras 14 cifras (después del punto decimal) de $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$, lo que tenemos que hacer es determinar en primer lugar un número natural $N$ tal que
lo que haríamos a continuación sería evaluar el polinomio
$\displaystyle x - \frac{x^3}{3} + \cdots + \frac{(-1)^N x^{2N+1}}{2N+1}$
en $x=1$. En este caso, el primer número natural $N$ que satisface la desigualdad ubicada más a la derecha en $(\ast \ast \ast)$ es el ceiling de $(10^{14}-3)/2$: desafortunadamente, el número $N$ así obtenido es demasiado grande como para que ejecutemos "a mano" el plan previamente delineado. Lo que típicamente se hace entonces es expresar $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$ en términos de arcotangentes de números más pequeños que $1$. Por ejemplo, de la interpretación geométrica de la multiplicación de números complejos y la igualdad
En consecuencia, para obtener las primeras 14 cifras después del punto decimal de $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$, basta con determinar el primer número natural $N$ tal que
Resulta ser que el primer número natural que satisface la condición anterior es $N=9$. Concluimos de esto y de la igualdad en $(\ast^{4})$ que
$p=0.785398163397447$
y $\frac{\pi}{4}$ coinciden en sus primeras 14 cifras decimales. Comparando lo anterior con el resultado que se obtiene al dividir el $\pi$ de Disney por $4$, concluimos que es falso que la cifra 14 después del punto decimal de $\pi$ sea $4$: en otras palabras, ¡el monito declamador que aparece en esa escena de Donald en el País de las Matemágicas es todo un trolero!
Sin más por el momento, les deseamos la mejor de las suertes con el bombardeo de memes, gifs, etc. que podría presentarse el próximo sábado en ocasión del Día de π (del Milenio, según se está manejando en algunos sitios). De nuestra parte sólo quedaría agregar un par de vínculos relacionados con lo que se ha expuesto previamente. En primer lugar, podrían intentar echarle un ojo a la demostración más breve de la irracionalidad de $\pi$ que se conoce hoy en día:
En segundo lugar tenemos un enlace donde encontrarán una anécdota debida a George Gamow en la cual se relata cómo en cierta ocasión el teorema de Taylor le salvó la vida al físico soviético Igor Tamm (quien fuera laureado con el Nobel de Física en 1958):
