Más sobre Erdös

Demostraremos a continuación, siguiendo a Erdös, que la serie de los recíprocos de los números primos diverge.

El argumento es por contradicción. Si la serie $\displaystyle \sum_{p} \frac{1}{p}$ fuese convergente, habría un número natural $k$ tal que $$\displaystyle \sum_{i \geq k+1} \frac{1}{p_{i}} < \frac{1}{2}.$$ Ahora bien, para $N \in \mathbb{N}$, denotemos con $N_{A}$ al número de naturales en $[1,N]$ cuyos divisores primos pertenecen a $\{p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}\}$ (incluimos al $1$ en este conteo). $N_{B}$ denotará, por su parte, al número de naturales en $[1,N]$ que tienen al menos un factor primo en $\{p_{k+1}, p_{k+2}, \ldots\}$. Claramente, para cada $N \in \mathbb{N}$, las convenciones hechas indican que $$N_{A} + N_{B} = N.$$ Derivaremos ahora estimados simples para $N_{B}$ y $N_{A}$ (en ese orden). El número de múltiplos del $i$-ésimo número primo en el intervalo $[1,N]$ es $\displaystyle \left\lfloor \frac{N}{p_{i}} \right\rfloor$. Así, $$\displaystyle N_{B} \leq \sum_{i \geq k+1} \left\lfloor \frac{N}{p_{i}} \right\rfloor \leq \sum_{i \geq k+1} \frac{N}{p_{i}} < \frac{N}{2}.$$ Para obtener información sobre $N_{A}$ notamos, en primer lugar, que todo número natural $n$ menor o igual a $N$ cuyos divisores primos están todos en $\{p_{1}, \ldots, p_{k}\}$ se puede escribir en la forma $n = a_{n}b_{n}^{2}$ donde $a_{n}$ es libre de cuadrados y, por tanto, o es $1$ o es un producto de distintos primos en $\{p_{1}, \ldots, p_{k}\}$. De esto se desprende que la parte libre de cuadrados de $n$ se puede elegir de a lo más $2^{k}$ maneras diferentes. Por otra parte, de las desigualdades $$b_{n} \leq \sqrt{n} \leq \sqrt{N}$$ concluimos que $N_{A} \leq 2^{k} \sqrt{N}$.

En particular, si hacemos $N = 2^{2(k+1)}$, se cumple que $N_{A} \leq 2^{k} \cdot 2^{k+1} = \frac{N}{2}$ y por consiguiente $$N = N_{A} + N_{B} < \frac{N}{2} + \frac{N}{2} = N.$$ Esto último es claramente absurdo y la prueba termina. ∎

Un hecho que se desprende de este resultado es la irracionalidad del número $$\alpha = 0.23571113171923293137\ldots,$$ conocido en algunos textos como constante de Copeland-Erdös. La prueba correspondiente es como sigue: si el número fuese racional entonces, sin pérdida de generalidad, puede suponerse que la representación decimal de $\alpha$ es periódica de longitud $s$ y que el período inicia inmediatamente después del punto decimal. Denotemos entonces con $a_{k}$ al número de elementos de la sucesión de primos con exactamente $k$ dígitos en su representación decimal. Afirmamos que para cada $k \in \mathbb{N}$ se tiene que $a_{k} \leq s$. En efecto, si $a_{k} > s$ para algún $k \in \mathbb{N}$ entonces, al juntar los primeros $s$ elementos de la sucesión de primos con $k$ dígitos se obtiene una cadena de $ks$ dígitos, en la cual, el período de $\alpha$ se manifiesta exactamente $k$ veces. Esto obliga a que el $(s+1)$-ésimo primo con $k$ dígitos en su representación decimal coincida con el número primo que inicia la cadena de longitud $ks$ (¡contradicción!).

De todo lo anterior se desprende que la serie de los recíprocos de los números primos está dominada por la serie $$\displaystyle \frac{s}{1}+ \frac{s}{10} + \frac{s}{10^{2}} + \cdots$$ lo cual es imposible en vista del resultado probado al inicio de la entrada. Obviamente, el argumento indica en general que si $\{n_{k}\}_{k \in \mathbb{N}}$ es una sucesión estrictamente creciente de números naturales y el número 0.n₁n₂n₃n₄n₅... es racional, entonces la serie $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{n_{k}}$ converge.

Referencias

[1] P. Erdös. Über die Reihe $\sum \frac{1}{p}$. (1938).
[2] N. Hegyvári. On some irrational decimal fractions. Amer. Math. Monthly 100 8 (1993), págs. 779-780.