Una perla de la Aritmética

A saber: no hay números perfectos consecutivos. El resultado es bastante sui géneris porque, de hecho, no se sabe siquiera si hay números perfectos impares. Me parece que el resultado fue demostrado por vez primera por el Profesor Florian Luca. La prueba que les voy a platicar se basa en dos hechos bastante conocidos sobre los números perfectos:

A) Un número perfecto par es de la forma $2^{q-1}(2^{q}-1)$ donde $2^{q}-1$ es un número primo de Mersenne.

B) No se sabe si hay números perfectos impares, pero de acuerdo con L. Euler, si $N$ fuese perfecto e impar entonces tendría que ser de la forma $px^{2}$ para algún primo $p$ congruente con $1$ módulo $4$ y algún número impar $x$ (se dice, en tal caso, que $p$ es el primo especial de $N$).

Supóngase entonces que $n$ y $n+1$ son ambos perfectos y que $n>6$. De A se sigue que todo número perfecto par mayor que $6$ debe ser divisible por $4$. Al combinar este dato con lo enunciado en B se sigue que si tanto $n$ como $n+1$ son números perfectos entonces $n$ debe ser par y además $$n \equiv 1 \pmod{3}.$$ Esto obliga a que $p$, el primo especial de $n+1$, sea congruente con $2$ módulo $3.$ La observación crucial en la prueba se desprende entonces de B y es la siguiente: si $p^{a}$ es la mayor potencia de $p$ que divide a $n+1$ entonces $a$ es impar. Así, de $$(1+p)+ \ldots +(p^{a-1}+p^{a}) \equiv 0 + \ldots + 0 \pmod{3}$$ y de la multiplicatividad de la función $\sigma$ se obtiene que $$\sigma(n+1) \equiv 0 \pmod{3}.$$ Por otra parte, de $n \equiv 1 \pmod{3}$ se sigue que $$\sigma(n+1) = 2(n+1) \equiv 1 \pmod{3},$$ lo que entra en contradicción con lo obtenido un par de líneas arriba. QED.