Una opinión más

"... there are two kinds of generalization, one facile and one valuable. One is generalization by dilution, the other is generalization by concentration. Dilution means boiling the meat in a large quantity of water into a thin soup; concentration means condensing a large amount of nutritive material into an essence. The unification of concepts which in the usual view appear to lie far removed from each other is concentration. Thus, for example, group theory has concentrated ideas which formerly where found scattered in algebra, number theory, geometry and analysis and which appeared to be very different. Examples of generalization by dilution would be still easier to quote, but this would be at the risk of offending sensibilities."

Tomado del prefacio a la primera edición del Problems & Theorems in Analysis de G. Pólya y G. Szegö (las negritas son mías).

En la opinión de Zeilberger

«... In my ultrafinitist weltanschauung, the great significance of both Gödel's famous undecidability meta-theorem, and Paul Cohen's independence proof is historical (or as Cohen would put it, "sociological"). Both are reductio proofs that anything to do with infinity is a priori utter nonsense, debunking the age-old erroneous belief of human-kind in the actual (and even potential) infinity. Granted, many statements: like "m+n=n+m for all (i.e. "infinitely" many) integers m and n" could be made a posteriori sensible, by replacing the phrase "for all" (when it ranges over "infinite" sets) by the phrase for "symbolic (commuting) variables (or rather letters) m and n". We have to kick the misleading word "undecidable" from the mathematical lingo, since it tacitly assumes that infinity is real. We should rather replace it by the phrase "not even wrong" (in other words utter nonsense), that cannot even be resurrected by talking about symbolic variables. Likewise, Cohen's celebrated meta-theorem that the continuum hypothesis is "independent" of ZFC is a great proof that none of Cantor's א-s make any (ontological) sense.»

15 de Brumario

La pregunta del momento: Sea (X,τ) un espacio topológico y D un subconjunto denso de X. ¿Será cierto que si por cada d ∈ D elegimos un abierto (propio) A_d tal que d ∈ A_d, entonces

$\mathbf{X} = \bigcup_{\mathbf{d} \in \mathrm{D}} \mathbf{A}_\mathbf{d}$ ?
Por favor, no dejen de intentarle...

V. I. Arnold

El reto de esta ocasión pretende fungir como un modesto homenaje a V. I. Arnold (12.06.1937—3.06.2010) quien ha fallecido recientemente. El problema está basado en un curioso ejercicio al que él solía aludir en añoranza de las hazañas de los matemáticos de la vieja escuela.

Específicamente, Arnold solicitaba calcular el límite, cuando $x$ tiende a cero, de la siguiente función

$\displaystyle \frac{\sin (\tan x) - \tan (\sin x)}{\arcsin(\arctan x) - \arctan(\arcsin x)}.$

V. I. Arnold agregaba que un problema así le tomaría no más de unos cuantos minutos a hombres como Barrow, Newton y Huygens pues, a diferencia de los matemáticos de la actualidad, ellos sí sabían calcular. En [1], Arnold mencionaría que Gerd Faltings era, entre los matemáticos que él conocía, la única excepción a esa última afirmación suya.

Al parecer, la historia anterior y el límite mismo son objeto de culto en ciertos círculos matemáticos rusos. La siguiente foto, tomada en la cafetería de la Universidad Independiente de Moscú (cortesía de Parker Glynn-Adey) puede constatar esto que ahora digo.


Procedamos entonces con la develación de la propuesta del momento:

65. Sean $f$ y $g$ dos funciones analíticas reales alrededor del $0$ con $f(0) = g(0) = 0$ y $f^{\prime}(0) = g^{\prime}(0) = 1$. ¿Cuál es el límite de

$\displaystyle \frac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x) - f^{-1}(x)}$

cuando $x$ tiende a $0$?

Espero que el problema sea de su agrado y que contribuya a perpetuar la memoria del Profesor Arnold en la blogósfera.

Referencias

[1] V. I. Arnold. Huygens and Barrow, Newton and Hooke. Birkhäuser Verlag, 1990, pág. 28.

Uno de la "Miscelánea Matemática"

64. Denotemos con S_n al grupo de permutaciones en n objetos. Sea d la aplicación con dominio S_n x S_n y codominio R que al par (f,g) asocia el número de puntos no fijos de la permutación f•g^-1. Demuestre que la dupla (S_n, d) es un espacio métrico.

Recuerdos de la campiña

63. El triángulo ABC es tal que AB = 8 y BC = 10. Si además ∠ABC = 60° y ∠BCA = 30°, ¿cuál es el área del triángulo ABC?

La propuesta actual pretende fungir como testimonio fehaciente del aforismo aquél que señala que no hay rival pequeño. ¿Qué opinan ustedes al respecto, estimados post-lectores?

ASDF

Merodeando en los archivos de Gaussianos he encontrado esta pequeña perla de la Teoría de Grupos:

- Sea (G, •) un grupo abeliano de orden n. Si F es el funtor olvidadizo que sale de Ab y llega a Set y F[(G, •)] = {a₁, ..., a_n}, determine a qué elemento de G es igual el producto a₁ • ... • a_n.

El problema fue publicado hace dos años en aquella bitácora y en el sector de comentarios respectivo se pueden encontrar algunas intentonas de solución a dicha propuesta. En las líneas siguientes presentamos una respuesta que seguramente ganará la aprobación de todos ustedes. Veamos:

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Sea e el neutro del grupo (G, •). Dado que el grupo es abeliano, los factores presentes en (a₁ • ... • a_n) se pueden acomodar de tal manera que los elementos que no son involuciones queden al lado de sus inversos. Una vez hecho eso resulta evidente que calcular el producto de todos los elementos de un grupo abeliano finito se reduce a calcular el producto de todas sus involuciones. Denotemos con I_G al subgrupo de G que se obtiene al agregar e al conjunto de todas sus involuciones.

Si |I_G| = 2, se concluye que el producto de todos los elementos del grupo es igual a la única involución de (G, •).

Si |I_G| > 2 entonces lo que se intuye es que G no debería tener involuciones distinguidas y de ahí que el producto de todas ellas tenga que ser igual a e. La prueba de esta última afirmación la llevamos a cabo por inducción.

Si |I_G| = 4 y el producto de todos sus elementos no es el neutro entonces e • a₁ • ... • a₃ = a₁ (por decir algo). De esta ecuación se obtiene que a₂ • a₃ = e y por tanto a₂ = a₃. Lo anterior es una contradicción y de ahí que la base de la inducción se tenga.

Supongamos entonces que el resultado es cierto siempre que el orden de I_G es una potencia de 2 menor que 2ⁿ (y mayor que 4). Veamos ahora lo que ocurre en el caso |I_G| = 2ⁿ.

Todo grupo abeliano finito tiene, por cada divisor de su orden, (al menos) un subgrupo con ese orden. Sea entonces (H, •) un subgrupo de orden 2^n-1 de I_G. El índice del subgrupo (H, •) es 2 y de ahí que

I_G = H ∪Ha

para alguna a en I_G y no en H. De lo anterior se desprende de inmediato que I_G = {a₁, ..., a_2^n-1, a₁a, ..., a_2^n-1a} y por tanto el producto de todos los elementos de I_G es

(a₁ • ... • a_2^n-1)( a₁a • ... • a_2^n-1a) = (a₁ • ... • a_2^n-1)²a^2n-1 = e,

tal como se sospechaba.

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No dejen de postearnos sus opiniones con respecto al argumento éste. Siendo sinceros, los que ví en Gaussianos me parecieron un tanto sobrados y de ahí el impulso por pensar en uno más acá. Saben a lo que me refiero, ¿no?

Una exclusiva más de su bitácora favorita...