In what follows, we shall denote the set of positive prime numbers by $\mathbf{P}$.
Act I. It is more or less well-known that there does not exist a non-constant polynomial $f \in \mathbb{Z}[x]$ such that $f(n) \in \mathbf{P}$ for every $n \in \mathbb{N}$. This can be proven by reductio ad absurdum: if $f(n) \in \mathbf{P}$ for every $n \in \mathbb{N}$ and $f(1) =: p$, then $p \mid f(1+kp)$ for every $k \in \mathbb{N}$; it follows that at least one of the equations $f(x)=p$ or $f(x)=-p$ has more solutions than $\deg(f)$, Q. E. A. This result is typically attributed to Christian Goldbach: W. Narkiewicz, on page 25 of his "The Development of Prime Number Theory", even mentions that it can be found in a letter from Goldbach to Euler written on September 28th, 1743. Luckily for us, Springer-Verlag published two years ago a translation into English of the correspondence of L. Euler with C. Goldbach edited and commented by F. Lemmermeyer and M. Mattmüller.
Act II. Several years ago, while perusing a very interesting article on primes in arithmetic progressions by M. R. Murty, I learned the notion of prime divisor of a polynomial: if $p \in \mathbf{P}$ and $f \in \mathbb{Z}[x]$, we say that $p$ is a prime divisor of $f$ if $p \mid f(n)$ for some $n \in \mathbb{Z}$. According to Murty, the basic theorem on the set of prime divisors of a non-constant $f \in \mathbb{Z}[x]$ can be traced back (at least) to a 1912 paper of I. Schur. The theorem can be proven emulating the celebrated proof of Eucl. IX-20.
Theorem. If $f$ is a non-constant polynomial of integer coefficients, then its set of prime divisors is infinite.
Proof. If $f(0)=0$, then every $p \in \mathbf{P}$ is a prime divisor of $f$. If $f(0) = c \neq 0$, then $f$ has at least one prime divisor as it can take on the values $\pm 1$ only finitely many times. Given any finite set $\mathcal{P}_{k}:=\{p_{1}, \ldots, p_{k}\}$ of prime divisors of $f$, we are to show that we can always find another prime divisor of $f$ which does not belong to $\mathcal{P}_{k}$. Let $A := p_{1} \cdots p_{k}$ and consider the equality $f(Acx)=cg(x)$ where $g \in \mathbb{Z}[x]$ is a polynomial of the form $1+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots$ where every $c_{i}$ is a multiple of $A$. Since $g$ is a non-constant polynomial whose constant term is different from $0$, $g$ has at least one prime divisor $p$. Clearly enough, this prime number $p$ is also prime divisor of $f$ which does not belong to $\mathcal{P}_{k}$. Q.E.D.
Act III. Resorting to the ideas in the previous paragraphs plus Dirichlet's glorious theorem on primes in arithmetic progressions, we are going to determine all the non-constant polynomials $f \in \mathbb{Z}[x]$ such that $f(\mathbf{P}) \subseteq \mathbf{P}$.
- If $f$ is one such polynomial and $f(0)=0$, then $f(x)=xg(x)$ for some some $g \in \mathbb{Z}[x]$. Given that $p \cdot g(p) =f(p) \in \mathbf{P}$ for every $p \in \mathbf{P}$, it follows that $g(p) = \pm 1$ for every $p \in \mathbf{P}$; therefore, in this case we obtain that either $g(x)=1$ and $f(x) =x$ or $g(x)=-1$ and $f(x)=-x$.
- Let us assume now that $f$ is one such polynomial and $f(0)=c \neq 0$. By the above theorem, we may fix a prime divisor $q$ of $f$ which is greater than $|c|$. If $n \in \mathbb{Z}$ is a witness of the fact that $q$ is a prime divisor of $f$, then $q \nmid n$. Thus, if $p_{1} < p_{2} < p_{3} < \ldots$ are all the positive primes in the arithmetic progression whose first term is $n$ and whose common difference is $q$, we have that $f(p_{i}) \equiv f(n) \equiv 0 \pmod{q}$ for every $i \in \mathbb{N}$, which is decidedly absurd because $f$ can assume the values $\pm q$ only finitely many times.
Hence, $f(x)=x$ is the only non-constant polynomial with integer coefficients which sends $\mathbf{P}$ to one of its subsets.
Banach y Tarski se encontraban gesticulando y argumentando, en el mismo cubículo, frente a un inmenso pizarrón verde, cuando demostraban el teorema que a la postre sería conocido como la Paradoja de Banach-Tarski: dada una bola sólida en $\mathbb{R}^{3}$, existe una descomposición de esta en un número finito de subconjuntos disjuntos que se pueden juntar otramente para producir dos copias idénticas a la bola original. Justo cuando terminaron la prueba, ambos callaron y se miraron muy contentos. Tarski hizo una pequeña aspiración y retuvo el aire un instante hasta que finalmente, absorto, le dijo a Banach: "Ahora sabemos cómo fue que Cristo multiplicó los peces y el pan".
Postdata. Leí este cuento por vez primera en 2016: no obstante, debo de confesar que estuve aguardando su aparición desde aproximadamente el primer semestre de 2004 pues fue más o menos in illo tempore que el Prof. Vulfrano T. me comentó que la multiplicación de los panes y los peces se podía conectar con el Axioma de Elección.
«It is related of the Socratic philosopher Aristippus (c. 435 – c. 356 BCE) that, being shipwrecked and cast ashore on the coast of the Rhodians, he observed geometrical figures drawn thereon, and cried out to his companions: "Let us be of good cheer, for I see the traces of man." With that he made for the city of Rhodes, and went straight to the gymnasium. There he fell to discussing philosophical subjects, and presents were bestowed upon him, so that he could not only fit himself out, but could also provide those who accompanied him with clothing and all other necessaries of life. When his companions wished to return to their country, and asked him what message he wished them to carry home, he bade them say this: that children ought to be provided with property and resources of a kind that could swim with them even out of a shipwreck...»
Let $f$ be a nonconstant polynomial with complex coefficients. Since $|f(z)| \to \infty$ as $z \to \infty$, we guarantee the existence of $R>0$ such that $$|f(z)|>|f(0)| \quad \quad (\ast)$$ for every $z \in \mathbb{C} \setminus \mathrm{B}_{R}(0)$.
On the other hand, the continuity of the function $F \colon \overline{\mathrm{B}_{R}(0)} \to \mathbb{C}$ given by $z \overset{F}{\longmapsto} |f(z)|$ and the compactness of $\overline{\mathrm{B}_{R}(0)}$ allow us to ascertain the existence of $z_{0} \in \overline{\mathrm{B}_{R}(0)}$ such that $$|f(z_{0})| \leq |f(z)|$$ for every $z \in \overline{\mathrm{B}_{R}(0)}$. From $(\ast)$ we infer that $z_{0}$ is actually an element of $\mathrm{B}_{R}(0)$; then, by resorting to the Minimum-Modulus Principle, we conclude that $|f(z_{0})|$ must be equal to $0$ and we are done.
Scholia. a) If I understand correctly, the basic idea in this approach to the Fundamental Theorem of Algebra can be traced back to a 1748 memoir of d' Alembert. Yet, according to what we read in Reinhold Remmert's essay on the Fundamental Theorem of Algebra in [1, pp. 99-122], there were some gaps in d' Alembert's original argument that would be pointed out by a twenty-two-year-old Gauss in the beginning of his doctoral thesis "Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse" which he submitted to Pfaff at the University of Helmstedt in 1799 and through which he obtained his doctorate. However, it is noteworthy that, on that occasion, "... Gauss also [remarked], almost prophetically (Werke 3, p.11): 'For these reasons I am unable to regard the proof by d' Alembert as entirely satisfactory, but that does not prevent, in my opinion, the essential idea of the proof from being unaffected, despite all objections; I believe that ... a rigorous proof could be constructed on the same basis.'" b) Interestingly enough, the proof of the Fundamental Theorem of Algebra showcased by Aigner & Ziegler's in their Proofs from THE BOOK (5th. edition, pp. 147-149) is based on the aforementioned d'Alembertian attack as subsequently simplified by Argand in 1814.
References [1] H. D. Ebbinghaus, et al., Numbers. Graduate Texts in Mathematics 123, Springer-Verlag, NY, 1991.
Como algunos de ustedes ya saben, el Día de π en este año se celebrará el próximo sábado 14 de marzo (incidentemente, un día antes de los IDUS DE MARZO, el momento del año en que supuestamente fue asesinado el preclaro militar y político romano Julio César [100 a.C.—44 a.C.]).
Se elige el 14 de marzo para celebrar a $\pi$ pues en algunos países la fecha correspondiente a tal día se escribe como 3/14 o 3.14; claramente, ambas expresiones evocan la aproximación a $\pi$ que en la escuela básica frecuentemente se "inculca" como el valor exacto de ese número. Con el transcurrir de los años, el estudiante aprende que esa práctica de igualar, implícita o explícitamente, a $\pi$ con 3.14 no es correcta pues $\pi$ es un número que no sólo es irracional (esto es, $\pi$ es un número que no se puede expresar como el cociente de dos números enteros) sino que también es trascendente (i.e., no es cero de ningún polinomio con coeficientes enteros).
En este 2015, la conmemoración del Día de π está sonando bastante porque nunca falta quien pretenda asociarle a la fecha del próximo sábado la expresión
3/14/15
o, ya entrados en gastos, considerando horas, minutos y segundos, algo de esta especie:
3/14/15/9:26.53...
La expresión anterior puede verse como una aproximación a $\pi$ con un error absoluto de $5.89793\ldots \times 10^{-10} $ pues es sabido que
$\pi =3.1415926535897\mathbf{9}3... \quad (\ast)$
La oservación a la que se hace alusión en el título de esta nota tiene que ver precisamente con esas primeras 15 cifras de $\pi$ después del punto decimal y con el doblaje al español del cortometraje Donald en el País de las Matemágicas, el cual puede encontrarse en el siguiente enlace:
Alrededor del minuto 1.75 del corto, o al menos de la versión que aparece en ese enlace, verán ustedes a un monito sobre la rama de un árbol que recita lo siguiente:
$\pi$ es igual a $3.1415926535897\mathbf{4}7$ etc., etc., etc.
¿Notan la discrepancia en las posiciones 14 (después del punto decimal) entre el desarrollo para $\pi$ que presentamos en $(\ast)$ y el desarrollo que está sugiriendo la gente de Walt Disney?
Indicaremos a continuación los elementos necesarios para convencerse de que es el monito de Disney quien incurre en una pifia al afirmar que $\pi$ es igual $3.141592653589747\ldots$ Aunque lo que viene a continuación puede lucir un tanto técnico, lo que hay que recordar básicamente es que, en la práctica, una manera de obtener aproximaciones a $\pi$ es mediante el desarrollo de Taylor para la función $\arctan(x)$ y el hecho de que $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$.
De nuestros cursos de cálculo infinitesimal sabemos que
donde el término de error $R(x)$ está acotado en valor absoluto por
$\displaystyle \frac{|x|^{2n+3}}{2n+3}.$
De esto se sigue que si queremos conocer, por decir algo, las primeras 14 cifras (después del punto decimal) de $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$, lo que tenemos que hacer es determinar en primer lugar un número natural $N$ tal que
lo que haríamos a continuación sería evaluar el polinomio
$\displaystyle x - \frac{x^3}{3} + \cdots + \frac{(-1)^N x^{2N+1}}{2N+1}$
en $x=1$. En este caso, el primer número natural $N$ que satisface la desigualdad ubicada más a la derecha en $(\ast \ast \ast)$ es el ceiling de $(10^{14}-3)/2$: desafortunadamente, el número $N$ así obtenido es demasiado grande como para que ejecutemos "a mano" el plan previamente delineado. Lo que típicamente se hace entonces es expresar $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$ en términos de arcotangentes de números más pequeños que $1$. Por ejemplo, de la interpretación geométrica de la multiplicación de números complejos y la igualdad
En consecuencia, para obtener las primeras 14 cifras después del punto decimal de $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$, basta con determinar el primer número natural $N$ tal que
Resulta ser que el primer número natural que satisface la condición anterior es $N=9$. Concluimos de esto y de la igualdad en $(\ast^{4})$ que
$p=0.785398163397447$
y $\frac{\pi}{4}$ coinciden en sus primeras 14 cifras decimales. Comparando lo anterior con el resultado que se obtiene al dividir el $\pi$ de Disney por $4$, concluimos que es falso que la cifra 14 después del punto decimal de $\pi$ sea $4$: en otras palabras, ¡el monito declamador que aparece en esa escena de Donald en el País de las Matemágicas es todo un trolero!
Sin más por el momento, les deseamos la mejor de las suertes con el bombardeo de memes, gifs, etc. que podría presentarse el próximo sábado en ocasión del Día de π (del Milenio, según se está manejando en algunos sitios). De nuestra parte sólo quedaría agregar un par de vínculos relacionados con lo que se ha expuesto previamente. En primer lugar, podrían intentar echarle un ojo a la demostración más breve de la irracionalidad de $\pi$ que se conoce hoy en día:
En segundo lugar tenemos un enlace donde encontrarán una anécdota debida a George Gamow en la cual se relata cómo en cierta ocasión el teorema de Taylor le salvó la vida al físico soviético Igor Tamm (quien fuera laureado con el Nobel de Física en 1958):
«In the time of Euclid, and for over two thousand years thereafter, the postulates of geometry were thought of as self-evident truths about physical space; and geometry was thought of as a kind of purely deductive physics. Starting with the truths that were self-evident, geometers considered that they were deducing other and more obscure truths without the possibility of error. (Here, of course, we are not counting the casual errors of individuals, which in mathematics are nearly always corrected rather promptly.) This conception of the enterprise in which geometers were engaged appeared to rest on firmer and firmer ground as the centuries wore on. As the other sciences developed, it became plain that in their earlier stages they had fallen into fundamental errors. Meanwhile the "self-evident truths" of geometry continued to look like truths, and also continued to seem self-evident.
With the development of hyperbolic geometry, however, this view became untenable. We then had two different, and mutually incompatible, systems of geometry. Each of them was mathematically self-consistent, and each of them was compatible with our observations of the physical world. From this point on, the whole discussion of the relation between geometry and physical space was carried on in quite different terms. We now think not of a unique, physically "true" geometry, but of a number of mathematical geometries, each of which may be a good or bad approximation of physical space, and each of which may be useful in various physical investigations. Thus we have lost our faith not only in the idea that simple and fundamental truths can be relied upon to be self-evident, but also in the idea that geometry is an aspect of physics.
This philosophical revolution is reflected, oddly enough, in the differences between the early passages of the Declaration of Independence and the Gettysburg Address. Thomas Jefferson1 wrote:
"... We hold these truths to be self-evident, that all men are created equal, that they are endowed by their Creator with certain unalienable Rights, that among these are Life, Liberty and the pursuit of Happiness..."
The spirit of these remarks is Euclidean. From his postulates, Jefferson went on to deduce a nontrivial theorem, to the effect that the American Colonies had the right to establish their independence by force of arms.
Lincoln spoke in a quite different style:
"Fourscore and seven years ago our fathers brought forth on this continent a new nation, conceived in liberty and dedicated to the proposition that all men are created equal."
Here Lincoln is referring to one of the propositions mentioned by Jefferson, but he is not claiming, as Jefferson did, that this proposition is self-evidently true, or even that it is true at all. He refers to it merely as a proposition to which a certain nation was dedicated. Thus, to Lincoln, this proposition is a description of a certain aspect of the United States (and, of course, an aspect of himself). (I am indebted for this observation to Lipman Bers.)
This is not to say that Lincoln was a reader of Lobachevsky, [János] Bolyai or Gauss, or that he was influenced, even at several removes, by people who were. It seems more likely that a shift in philosophy had been developing independently of the mathematicians, and that this helped to give mathematicians the courage to undertake non-Euclidean investigations and publish the results.
At any rate, modern mathematicians use postulates in the spirit of Lincoln. The question whether the postulates are"true"does not even arise. Sets of postulates are regarded merely as descriptions of mathematical structures. Their value consists in the fact that they are practical aids in the study of the mathematical structures that they describe...»
I've excerpted these paragraphs (emphasis in bold was mine) from:
EDWIN E. MOISE, Elementary geometry from an advanced standpoint. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Second Printing, March 1964, USA, pp. 382-383.
Incidentally, as I was browsing through some of the past volumes of The American Mathematical Monthly the other day, I found on page 776 of the eighth issue of vol. 99 of that periodical a letter from an Alberto Guzmán (Dept. of Mathematics, City College of CUNY) to the Monthly Editors wherein Mr. Guzmán mentions that it was Alvin Hausner the one who called his attention to the fact that the change in viewpoint, “from accepting axioms as obvious truths to stipulating them as working assumptions”, was reflected in the Declaration of Independence and the Gettysburg Address. Mr. Guzmán wrote that letter because, in the first issue of the said volume of the Monthly, there appeared an article by Abe Shenitzer that touched upon the nineteenth-century change of standpoint in question and it, presumably, refreshed his memory on what Hausner had told him about the matter once. It has to be noted, however, that in the missive there was no mention whatsoever to either Lipman Bers or the paragraphs by Edwin Moise showcased above: the corollary being that even the Monthly Editors nod off sometimes.
The aforecited excerpts are also interesting because it is known that Lincoln was at some point in his life an avid reader of Euclid. Some of his phrases—such as "dedicated to the proposition" in the Gettysburg Address—sound as though they ultimately came from his reading of Euclid. In addition, Lincoln is said to have spoken once thus2:
"... In the course of my law-reading I constantly came upon the word demonstrate. I thought, at first, that I understood its meaning, but soon became satisfied that I did not. I said to myself, 'What do I do when I demonstrate more than when I reason or prove? How does demonstration differ from any other proof?' I consulted Webster's Dictionary. That told of 'certain proof,' 'proof beyond the possibility of doubt;' but I could form no idea what sort of proof that was. I thought a great many things were proved beyond a possibility of doubt, without recourse to any such extraordinary process of reasoning as I understood 'demonstration' to be. I consulted all the dictionaries and books of reference I could find, but with no better results. You might as well have defined blue to a blind man. At last I said, 'Lincoln, you can never make a lawyer if you do not understand what demonstrate means;' and I left my situation in Springfield, went home to my father's house, and staid there till I could give any proposition in the six books of Euclid at sight. I then found out what 'demonstrate' means, and went back to my law studies."
The following comments by Salomon Bochner in “The Role of Mathematics in the Rise of Science” (Princeton University Press, 4th printing, Princeton NJ, USA, 1981, p. 37.) provide us with additional references on Lincoln's interest in Euclidean geometry:
“... Abraham Lincoln, in his campaign biography of 1860, written by himself and published under the name of John L. Scripps of the Chicago Press and Tribune, ventured to assert about himself that 'he studied and nearly mastered the six [sic] books of Euclid since he was a member of Congress.' (The Collected Works of Abraham Lincoln, The Abraham Lincoln Association, Springfield, Illinois (Rutgers University Press, 1953), IV, 62.) Lincoln's assertion that he had 'nearly mastered' these books was one of the boldest and blandest campaigns statements in the annals of the American presidential elections, and folkloristic embellishments of this assertion were even less restrained. (See Herndon's Life of Lincoln (The World Publishing Company, 1949); Carl Sandburg, Abraham Lincoln, The Prairie Years (Harcourt, Brace & Co., 1926), I, 423-424; Emanuel Hertz, Lincoln Talks (Viking, 1936), p. 18.) It is worth reflecting on the fact that in the America of 1860 a consummate grassroots politician of the then Mid-Western Frontier should have thought that adding to a mixture of log cabin and rail-splitting a six books worth of Euclid would make the mixture more palatable to an electorate across the country.”
Last but not least, I would like to add that Lincoln's devotion to Euclid was exploited in a scene of Steven Spielberg's 2012 movie on the Great Emancipator. As the Hindu mathematician Bhāskara would say (or so the legend has it), BEHOLD! 3
P.S. Please, feel free to enter below any observation, suggestion, criticism, etc. you may have for the owner/writer of this blog regarding this entry...
______________ 1Jennnifer Schuessler (July 3, 2014). If only Thomas Jefferson could settle the issue (A period is questioned in the Declaration of Independence). The New York Times, p. A1.
Ayer por la tarde, apenas acababa de sentarme a estudiar cuando llegó Licha mi hermana y me dijo:
—Toño, me dejaron un problema y no puedo resolverlo. Ayúdame, ¿quieres?
Así por encimita le eché un vistazo al problema y pensé en el compromiso tan grande que me echaba si no podía resolverlo porque perdería inmediatamente mi autoridad. Por eso le dije a Licha:
—Mira, ahorita no puedo ayudarte porque tengo mucho que estudiar. Vete a jugar un rato y cuando vuelvas te ayudaré con mucho gusto—así, pensé, mientras ella juega yo resuelvo el problema y luego se lo explico.
En cuanto Licha salió cogí su libreta y leí:
"Un niño y una niña fueron al bosque a buscar nueces. Recogieron 120 en total. La niña recogió la mitad de las que recogió el niño. ¿Cuántas nueces tenía el niño y cuántas la niña?"
Cuando terminé de leerlo hasta me dio risa: ¡uy, qué problemas les ponen en tercero!—pensé—. ¡Pero sí está todo clarísimo! Hay que dividir 120 entre 2 y resultarán 60. Luego, la niña recogió 60 nueces. Ahora hay que averiguar cuántas recogió el niño; de 120 me quitan 60, quedan otras 60. A ver, a ver, ¿cómo está esto?
Así resulta que los dos recogieron la misma cantidad de nueces, pero el problema dice que la niña recogió la mitad de las que recogió el niño. ¡Ah! Entonces hay que dividir 60 entre 2 y tendremos 30. Luego, el niño recogió 60 nueces y la niña 30. Pero 60 y 30 son 90 y el problema dice que entre los dos recogieron 120 nueces.
—¡Pero que ocurrencia poner en tercer año un problema que no se puede resolver ni en cuarto!—pensé—. Eso es una injusticia...—la verdad era que sentía vergüenza de no poder resolverlo, pues Licha diría: "¿Ves? Estás en cuarto año y no puedes resolver un problema de tercero". Tenía que resolverlo a como diera lugar. Me puse a pensar de nuevo, pero no se me ocurrían otras soluciones. ¡Ya me había hecho bolas! Bueno, eran 120 nueces en total, y había que dividirlas de manera que el niño tuviera dos veces más que la niña. Desesperado, dibujé un nogal en el cuaderno, al pie del nogal una niña y un niño, y en el árbol 120 bolitas, que eran las nueces. Pero hasta ahí llegaba. Después, me puse yo a recoger nueces, es decir, a borrarlas del árbol y dárselas a los niños, dibujándoselas encima de la cabeza. Luego se me ocurrió que se las habían guardado en los bolsillos.
El niño tenía dos bolsillos en el pantalón y la niña sólo uno en su delantal. Entonces pensé que por eso la niña había recogido menos nueces que su hermano.
Estaba sentado, mirándolos: él tenía dos bolsillos, ella sólo uno. Y la cabeza empezó a despejárseme. Borré las nueces de encima de sus cabezas y dibujé de nuevo los bolsillos, pero esta vez eran unos bolsillos muy abultados, como si estuvieran llenos de nueces. Ahora las 120 nueces estaban dentro de los tres bolsillos. Entonces vi todo claro. ¡Cómo no se me había ocurrido antes! ¡Las 120 nueces había que dividirlas en tres partes! La niña toma una parte y el niño las partes restantes, es decir, dos veces más que la niña. Dividí rápidamente 120 entre 3 y resultó 40, las que tenía la niña. Y como el niño tenía el doble que ella, resultó que 40 más 40 daba 80. Luego sumé 80 y 40 y ¡eran las 120 nueces completitas!
Poco después regresó Licha e inmediatamente me puse a explicarle el problema. Le dibujé las nueces, los niños y sus bolsillos abultados.
—¡Qué bien explicas tú los problemas, Toño! Yo sola nunca habría sabido cómo hacerlo.
—Éste es un problema retefácil. Cuando te pongan uno más difícil me lo dices y yo te lo explico en un momento.
Entonces como que me envolvió una cosa muy bonita, como que me sentí muy importante de ver que yo podía ayudar a mi hermana a resolver sus problemas de matemáticas.
* El cuento es de la autoría del escritor soviético Nikolái Nosov y la adaptación al español que he compartido en esta entrada se debe a Armida de la Vara... La adaptación la retomé del libro Español (Ejercicios y Lecturas) - Cuarto Grado, el cual estuvo vigente en México desde algún momento en los años 80 y hasta mediados de los años 90 (aproximadamente).
